Espectáculo $T$ es compacto

Question

$H$ $K$ son Espacios de Hilbert, $(u_n)$ $(v_n)$ son secuencias en $H$ $K$ respectivamente. $\sum_{n=1}^{n=\infty} \|u_n\|\|v_n\| $ converge.
$T\colon H\rightarrow K$ está definido por $Tx=\sum_{n=1}^{\infty} \langle x,u_n\rangle v_n$.

Necesito mostrar que $T$ es compacto, y estoy francamente ni idea. Todo lo que tengo que decir es que la primera suma la convergencia de medios cada serie es acotado, pero no sé si eso es aún relevante.

Y sugerencias/ayuda sería apreciada.

Gracias

Answer 1

Para $u\in H$, $v\in K$ denotar por $u\bigcirc v$ el rango de un operador definido por $$ u \bigcirc v:H\to K:x\mapsto \langle x, u\rangle v $$ Obviamente $\Vert u \bigcirc v\Vert\leq \Vert u\Vert\Vert v\Vert$. A continuación, para cada una de las $N\in\mathbb{N}$ considera operador $$ T_N=\sum\limits_{n=1}^N u_n\bigcirc v_n $$ Es de rango finito como la suma finita de rango uno de los operadores. Desde que la serie se $\sum\limits_{n=1}^\infty\Vert u_n\Vert\Vert v_n\Vert$ converge entonces $$ \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=N+1}^\infty\Vert u_n\Vert\Vert v_n\Vert=0\etiqueta{1} $$ En el otro lado $$ \Vert T-T_N\Vert= \left\Vert \sum\limits_{n=N+1}^\infty u_n\bigcirc v_n\right\Vert\leq \sum\limits_{n=N+1}^\infty\Vert u_n\bigcirc v_n\Vert\leq \sum\limits_{n=N+1}^\infty\Vert u_n\Vert \Vert v_n\Vert\etiqueta{2} $$ De $(1)$ $(2)$ se sigue que $\lim\limits_{n\to\infty}\Vert T -T_N\Vert=0$, es decir, $T$ es un límite finito de rango operadores en la topología de $\mathcal{B}(H,K)$. Por lo tanto $T$ es compacto.