aproximación de funciones medibles

Question

Hola sabemos que podemos aproximado medibles función por función sencilla, sin embargo, podemos aumentar las condiciones de tal manera que nos puede aproximar a la mayoría de los contables de funciones que existe secuencia {$s_n$} de no negativa F/B* funciones medibles tales que cada uno asume en la mayoría de los contables de muchos de los valores, todos los valores finitos y $s_n \rightarrow$ f """uniformemente""" ? He intentado cambiar de la prueba para la aproximación de funciones simples dadas a continuación, sin embargo estoy teniendo problemas, no veo cómo puedo obtener el resultado para aquellos extendido de funciones simples.

Aquí F/B* se definen como sigue F es una sigma de campo en $\Omega$ y definir F/B* de la siguiente manera: Vamos a Un $\in$ F no vacío, y sea f : $\rightarrow$ $R^{*}$ denotar una función.

Diremos que f es F/B*medible iff $f^{-1}(B)$ $\in$ F y ambos $f^{-1}$({$\infty$}) y $f^{-1}$({-$\infty$}) en F.

Answer 1

Para$n\in \Bbb{N}$$k\in \Bbb{Z}$, vamos a $M_n^k = f^{-1}((k/n, (k+1)/n])$. Definir

$$ s_n := \sum_{k\in \Bbb{Z}} \frac{k+1}{n} \chi_{M_n^k}, $$ donde $\chi_M$ es s la característica/función de indicador de la set $M$.

Yo se lo dejo a usted para verificar la $\Vert f -s_n\Vert_\sup \leq 1/n$ y, por tanto, $s_n \to f$ uniformemente.

EDIT: Si $f$ sólo asume valores no negativos, entonces también lo hace $s_n$. Si $f$ también puede asumir la $\infty$, $s_n \to f$ uniforme no es posible si $s_n$ sólo debe asumir finito de valores.