Ayudar a evaluar este límite

Question

¿Cuál es el valor de este límite? $$ \lim_{x \to \infty}x^{\frac{1}{x}} $$

Nunca he encontrado a un límite de antes, así que cualquier consejo o ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Aquí empieza:

$\lim x^{1/x} = \lim \exp(\log(x^{1/x)})) = \lim \exp\left[\frac1x\log x\right] = \exp\left[\lim\frac1x\log x\right]$.

El límite en que la última expresión es una $0\cdot\infty$ formulario. ¿Sabes cómo manejar a aquellos con L'Hôpital de la Regla?

Answer 2

Un enfoque similar a la G Tony Jacobs: el uso de la continuidad de logaritmo (es decir,$\log \lim f(x) = \lim \log f(x)$) para el registro de la expresión para obtener $$ L f(x) = \frac{\log x}{x} $$ a continuación, mostrar que converge a $0$ por L'Hospital de la regla, entonces exponentiate vuelto a conseguir 1.