Divisibilidad prueba $8\mid (x^2 - y^2)$ $x$ y $y$ impar

Question

$x,y \in\Bbb Z$. Demostrar eso si $x$ y $y$ son ambos impares, entonces $8\mid (x^2 - y^2)$.

Mi prueba inicia:

Asumir $x$ y $y$ son ambos impares. Así, $x = 2k + 1$ y $y = 2l +1$ % enteros $k$y $l$. Así,\begin{align} x^2 - y^2 &= (2k + 1)^2 - (2l + 1)^2 \\ &= 4k^2 + 4k + 1 - (4l^2 + 4l + 1) \\ &= 4k^2 + 4k - 4l^2 - 4l \end {alinee el}

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Mis dos preocupaciones:

1) ¿es esto correcto hasta ahora?

2) ¿cómo se ocuparía de la parte de '$8\;\mid$'?

Answer 1

Todo es correcto; ahora la última expresión puede escribirse 4\bigl(k(k+1)-l(l+1)\bigr) $$ $$ y solo tienes que demostrar que es que $k(k+1)-l(l+1)$.

Sugerencia: Se puede saber si $m(m+1)$, es un número entero $m$?

Answer 2

$8 \mid x$ si y sólo si $x\equiv 0\mod 8$. Entonces usted tiene $4k^2 + 4k - 4l^2 - 4l$ Si $k$ es impar, $k^2$ es demasiado. A continuación, $4k^2 + 4k \equiv 0 \mod 8$ si $k$ es aún lo es $k^2$$4k^2 + 4k \equiv 0\mod 8$. Un argumento similar para $l$ va a finalizar su prueba.

Answer 3

Usted está en lo correcto hasta ahora. Lo que usted necesita para terminar es este

Sugerencia: $4u^2+4u = 8v$

Solución:

$ 4u^2+4u=4(u+1)u=8\binom{u+1}{2}$

Answer 4

si $K$ $l$ son incluso, a continuación, $K=2K_1$ $l=2K_2$
a continuación,$4K^2+4K-4l^2-4l=16K_1^2+8K_1-16K_2^2-8K_2$, lo que claramente es divisble por 8
ahora si $K$ $l$ son impares, entonces $K=2K_1+1$ $l=2K_2+1$
a continuación,$4K^2+4K-4l^2-4l=4(4K_1^2+4K_1+1)+8K_1+4 -4(4K_2^2+4K_2+1)-8K_2+4= 16K_1^2+16K_1+8K_1+8-16K_2^2-16K_2-8K_2-8$, lo que claramente es divisble por 8

si $K$ es incluso y $l$ es impar o $K$ es impar y $l$ es aún, es el mismo cálculo, ¡pruébalo!