Bijection entre el $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$

Question

Me preguntaba si es posible producir un explícito bijection $h\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}/\mathbb{Q}$. Si somos capaces de producir una explícita de inyección de $i\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}/\mathbb{Q}$, el Cantor-Bernstein-Schroeder Teorema de ser utilizado de manera constructiva?

Está claro que los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, de modo que la existencia de un bijection es trivial. Lo que estoy buscando es una bonita bijection, o una prueba de que no hay tal aspecto agradable bijection existe una definición de "bonita" que no puedo entender.

Uno de los problemas que creo que hace que la búsqueda de un bijection difícil es que cualquier natural de inyección de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ (es decir, las inyecciones en el que un representante es elegido de cada coset) produce un no-medibles conjunto, específicamente un conjunto de Vitali.

No me gusta hacer este tipo de una pregunta vaga, pero realmente no estoy seguro acerca de si la respuesta correcta es constructivo, o si es una prueba de que cualquier bijection es en algún sentido "muy complicado".

Como nota final, la motivación para esta pregunta vino de esta discusión, en la que yo estaba un poco asombrado al ver tan clara, constructiva bijection entre las $\mathbb{R}$ $\mathbb{R} \setminus S$ donde $S$ es contable.

Answer 1

No es posible.

Esto es consistente con la teoría de conjuntos sin elección que $\mathbb R/\mathbb Q$ ha estrictamente mayor cardinalidad que $\mathbb R$. (Esto parece contra-intuitivo, ya que $\mathbb R/\mathbb Q$ es un cociente.)

Este es el caso, puesto que, usando un hecho que se remonta a Sierpiński (Sur une la proposición qui entraîne l'existence des ensembles no mesurables, Fondo. De matemáticas. 34, (1947), 157-162. MR0023318 (9,338 i)), en cualquier modelo de $\mathsf{ZF}$ donde todos los conjuntos de reales tiene la propiedad de Baire, incluso no es posible lineal del orden de $\mathbb R/\mathbb Q$.

(Sierpiński argumenta en términos de la medida de Lebesgue. El argumento en términos de la propiedad de Baire es análogo, y tiene la técnica adicional ventaja de no requerir ningún debate de la consistencia de la fuerza de problemas.)

Hace un par de años, Mike Oliver dio una agradable charla sobre este tema (Cómo tener más cosas en el olvido de donde ponerlos); él no es exactamente el uso de $\mathbb R/\mathbb Q$, pero los argumentos de adaptarse fácilmente. El punto de la charla es precisamente dar alguna intuición sobre por qué esperamos que el cociente a ser "más grande".

[Por supuesto, en la presencia de elección, los dos conjuntos tienen el mismo tamaño. El argumento anterior muestra que el uso de la opción es inevitable.]