Deje que S sea un conjunto finito. Sea F una función surjective de S a S.
¿Cómo pruebo que es inyectiva?
Respuestas
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Deje $S$ ser finito conjunto, y $f : S \to S$ una función. A continuación, los siguientes son equivalentes:
- $f$ es inyectiva.
- $f$ es surjective.
- $f$ es bijective.
Este es un recuento de argumento. En primer lugar, supongamos $f$ es inyectiva. Si $S$ $n$ elementos, por nuestra suposición, esto significa que la imagen de $f$ tiene al menos $n$ elementos. Pero la imagen de $f$ está contenido en $S$, por lo que tiene en la mayoría de las $n$ elementos; por lo que la imagen de $f$ contiene exactamente $n$ elementos y es por tanto el conjunto de la $S$, es decir, $f$ es surjective.
Siguiente, supongamos $f$ es surjective. Así, para cada una de las $y$$S$, hay un $x$ $S$ tal que $y = f(x)$; elegimos uno de esos $x$ por cada $y$ y definir una función $g : S \to S$, de modo que $g(y) = x$. Por construcción, $f(g(y)) = y$, lo $g$ debe ser inyectiva, y por lo tanto, debe ser surjective por el argumento anterior. Por lo $g$ es un bijection, y $f$ es una izquierda inversa para $g$. Pero una izquierda inversa para un bijection es también un derecho inversa, por lo que esto implica $f$ es un bijection, y , a fortiori, una inyección.
Observe que la primera parte del argumento falla al $S$ no es finito. Por ejemplo, consideremos la función $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definido por $f(x) = x + 1$. Esta función es, sin duda inyectiva pero no es surjective. Del mismo modo, la función de $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ definido por $f(0) = 0$ $f(x + 1) = x$ es surjective, pero no inyectiva.
MikeE
Puntos
11
- supongamos que$f$ es función injective y no surjective, es decir, hay punto$y\in S$ tal que no hay punto$x$ en$S$ con$f(x)=y$. Como$f$ es función, entonces cada$x$ en$S$ debe funcionar como abscisa en la relación$f$, por lo tanto, debemos tener there is$x_1 \ne x_2$ implica que$f(x_1)=f(x_2)$ que da una contradicción allí para f debe ser sobre
