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Deje$X$ ser un espacio topológico. Denote por$C(X; \mathbb{R})$ el anillo de funciones continuas de valor real definidas en$X.$
Caracteriza esos espacios compactos de Hausdorff$X$ para los cuales$C(X; \mathbb{R})$ tiene la propiedad de que todos sus ideales primarios son máximos.
Estos son exactamente los espacios finitos.
Completamente regular espacios topológicos $X$ con la propiedad de que cada primer ideal en $C(X)$ es máxima se llama $P$-espacios. Una caracterización topológica es: cada $G_{\delta}$-set (contables intersección de abrir conjuntos) es abierto.
No es difícil mostrar que los contables de subconjuntos de a $P$-los espacios son cerrados y discretos. De ello se desprende que countably compacto y, en particular, compacto $P$-los espacios son limitados.
Para una larga lista de equivalentes de las caracterizaciones y propiedades básicas de $P$-espacios consultar ejercicios 4J 4K en las páginas 62 y 63 de Gillman-Jerison, Anillos de funciones continuas, Springer GTM 43, 1976.
En el MO-hilo en el primer ideales en $C[0,1]$ también encontrará información relevante y de construcciones.
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