Es perfectamente natural a ser un poco confundido cuando se enfrentan a una pregunta como esta. En tal caso, ajustándose a las definiciones, y tal vez imaginando un pequeño ejemplo, es el camino a seguir si usted me pregunta. En el caso particular de tu pregunta, la verdad no me se ninguna buena manera de imaginar lo $f_2$ parece, y creo que no es del todo útil para probar.
Vamos a tratar de demostrar (una). Ya que es un if then else, podemos empezar por asumir que $f_1$ es inyectiva.
Ahora queremos demostrar que $f_2$ es inyectiva. Podemos hacer eso suponiendo que $f_2(x_1)=f_2(x_2)$ y concluyendo que el $x_1=x_2$. Así que supongamos $f_2(x_1)=f_2(x_2)$.
Desde $f_2$'s de dominio es $A^C$, sabemos que $x_1,x_2$ son ambas funciones de$C$$A$, y podemos demostrar que son iguales si $x_1(c)=x_2(c)$ todos los $c\in C$. Así, asumimos que $c\in C$, y tenemos que demostrar $x_1(c)=x_2(c)$.
OK, ahora, hay un montón de asumir hecho, vamos a escribir todas las suposiciones y lo que queremos demostrar:
Supuestos:
- $f_1$ es inyectiva
- $f_2(x)=f_1\circ x$
- $x_1,x_2\in A^C$
- $f_2(x_1)=f_2(x_2)$
- $c\in C$
Objetivo:
- Queremos mostrar que $x_1(c)=x_2(c)$.
Vamos a ir. A partir de (4), tenemos que $f_2(x_1)=f_2(x_2)$, lo que significa que $f_2(x_1)(c) = f_2(x_2)(c)$ (recuerde, $f_2(x)$ es un mapeo de$C$$B$).
A partir de la definición de $f_2$, podemos reescribir esta en $$(f_1\circ x_1)(c)=(f_1\circ x_2)(c)$$
por la definición de $\circ$, esto se convierte en
$$f_1(x_1(c))=f_1(x_2(c))$$
Ahora, desde la $f_1$ es inyectiva, sabemos que si $f_1(y_1)=f_1(y_2)$,$y_1=y_2$, por lo tanto, la inserción de $y_1=x_1(c)$$y_2=x_2(c)$, podemos concluir que $$x_1(c)=x_2(c)$$
Puesto que esto es cierto, y $c$ es arbitrario, podemos concluir $x_1=x_2$, y a partir de ahí, a la conclusión de que $f_2$ es inyectiva.
Ver? Es todas las definiciones de todo el camino hacia arriba y hacia abajo. Mientras usted tenga cuidado de no saltar a conclusiones, usted estará a salvo.
Usted puede utilizar un método similar para demostrar que $f_3$ es surjective. Escriba lo que significa, y lo demuestran:
$f_3$ es surjective si, para cada $x\in C^A$, existe alguna $y\in C^B$ tal que $f_3(y)=x$.
Por lo tanto, vamos a $x\in C^A$, y vamos a ver lo $y$ debe ser similar. Desde $y\in C^B$, podemos definir a la $y$ si sabemos lo $y(b)$ debe ser para cada $b\in B$. Sin embargo, sólo sabemos lo $f_3(y)$ debe ser para todos los $a\in A$. Así que vamos a empezar con eso.
Supuestos:
- $f_1$ es inyectiva
- $f_3(y) = y\circ f_1$
- $x\in C^A$.
- $a\in A$.
Objetivo:
- Queremos definir $y$ tal que $f_3(y)=x$.
Vamos a reescribir la condición de $f_3(y)=x$. Usando (2), obtenemos $y\circ f_1=x$, y en nuestra particular $a$, que se reduce a $y(f_1(a)) = x(a)$.
Así, sabemos que si $b=f_1(a)$ algunos $a$, $y(b)$ debe ser igual a $x(a)$. Para otros valores de $b\in B$, podemos definir a la $y$ a ser cualquier cosa que queramos. El uso de inyectabilidad de $f_1$, se puede demostrar que una definición de $y$ es ACEPTAR en el sentido de que cada una de las $b\in B$ tiene un único valor de $y(b)$.
