¿Existe un subespacio de Banach dimensional infinito en cada espacio normativo?

Question

Sabemos que cada normativa espacio contiene un separables subespacio.

Deje $X$ una normativa espacio. Supongamos que Hamel base de la $X$ es incontable, $X$ no es reflexiva y espacio de Banach (ver más abajo). ¿Existe un infinito dimensional de Banach subespacio $B$$X$?

Comentario:

Si $X$ es de Banach tomar cualquier infinitas dimensiones subespacio cerrado en $X$, y lo hemos hecho. (Deje $(x_{n})_{n}$ linealmente independientes de la secuencia, por lo $S=\overline{ \langle (x_{n})_{n} \rangle}$ es un subespacio cerrado en $X$, $S$ es un subespacio de Banach de $X$).

Tenemos que mostrar la pregunta al $X$ no es un espacio de Banach.

En particular, si $X$ no es de Banach, entonces $X$ no es reflexiva. (Suponga $X$ no es de Banach. Si $X$ es reflexiva , $J(X)=X''$, e $X''$ es de Banach, entonces $X$ es de Banach.)

Tenemos que mostrar la pregunta al $X$ no es reflexiva y espacio de Banach.

Si $X$ es normativa espacio con Hamel de la base contable, a continuación, $X$ no puede tener un subespacio que es de Banach en $X$. De hecho, vamos a $S$ una de Banach subespacio de $X$, luego Hamel base de la $S$ es incontable, pero Hamel base de la $X$ es contable.

Un ejemplo de normativa del espacio contables con base a:

"Considere la posibilidad de $c_{00}$, el espacio de las secuencias de $x=(x_{n})$ de los números reales que tiene sólo un número finito distinto de cero elementos, con la norma $ \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|$ . Su estándar de base, que consta de las secuencias de tener sólo un elemento no nulo, que es igual a 1, es una contables de Hamel". (https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra))

Tenemos que mostrar la pregunta cuando Hamel base de la $X$ es incontable, y $X$ no es reflexiva y espacio de Banach.

Answer 1

Deje $M$ ser una multitud innumerable, por ejemplo,$M = [0,1]$, equipado con el conteo de medida. $$ X_1 = \{x \in \ell^2(M) \, | \, x_i \ne 0 \quad \text{para un número finito de} \quad i \M\} $$ y $$ X_2 = \{x \in \ell^2(\mathbb{Z}) \, | \, x_i \ne 0 \quad \text{para un número finito de} \quad i < 0\} $$ tanto con el $\ell^2$ norma.

A continuación, $X_1$ es una normativa espacio con innumerables Hamel base para que cada subespacio es finito dimensionales.

Y $X_2$ es una normativa espacio con innumerables Hamel base que contiene el espacio de Banach $\ell^2(\mathbb{N})$ como un subespacio.

En suma: no Hay normativa de los espacios, con innumerables Hamel base de que no contienen infinitas dimensiones de los espacios de Banach como subespacios, y no es un simple tensor de construcción para producir dicha normativa espacios que contienen infinitas dimensiones de los espacios de Banach.