Demuestre que si tanto$a$ como$b$ dividido entre$n$ dan el resto 1, entonces$ab$ dividido entre$n$ da el resto 1.

Question

Aquí está mi enfoque:
$a=q_1n+1$
$b=q_2n+1$
$ab = q_1q_2n^2+q_1n+q_2n+1=(q_1q_2n+q_1+q_2)n+1$

No estoy seguro si esto es suficiente, y si es así, si hay una mejor prueba.

Answer 1

Si esto está bien. También se podría usar la aritmética modular para decir que$a\equiv 1\pmod n$ y$b\equiv 1\pmod n$ da$ab\equiv 1\cdot 1\equiv 1\pmod n$; sin embargo, me gusta su enfoque mejor porque usa el resto real como en el algoritmo de división, en lugar de usar la relación entre los residuos y la aritmética modular.

Answer 2

$(ab-1)=\underbrace{(a-1)b}_\text{divisible by n}+\underbrace{(b-1)}_\text{divisible by n}$

Pero no es muy diferente de tu prueba:
vuelva a escribirlo$(a-1)(b-1)+(a-1)+(b-1)$ y reemplace$(a-1)$ por$q_1n$ y lo mismo para$b$.