Desigualdad AM / HM <= (AM / GM) ^ n con la interpretación del problema de empaque

Question

He tropezado con la siguiente desigualdad, mientras que la exploración "de Hoffman embalaje problema", que estoy bastante convencido de que es verdad, pero no puede probar. Deje $n \geq 2$ ser un número natural y deje $x_1, \dots, x_n$ ser números reales positivos. ¿Cómo puedo probar que: $$ \frac{AM}{HM} \leq \left(\frac{AM}{GM}\right)^n, $$ donde la media armónica $HM$, la media geométrica de la $GM$ y la media aritmética $AM$ se definen como: $$ HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}}, \quad GM = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}{x_i}} \quad \text{y} \quad AM = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}. $$

Lo que sabemos hasta el momento

Tenemos la igualdad si $n=2$ o si $x_1 = \dots = x_n$.

No he sido capaz de demostrar la desigualdad en general, pero para $n=3$ (vamos a usar $x_1,x_2,x_3 = a,b,c$ para mayor claridad) obtenemos: $$ \frac{\frac{a+b+c}{3}}{\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}} \leq \left(\frac{\frac{a+b+c}{3}}{\sqrt[n]{abc}}\right)^3 \Leftrightarrow\\ \frac{(a+b+c) \cdot (bc + ac + ab)}{9abc} \leq \frac{(a+b+c)^3}{27abc} \Leftrightarrow\\ 3(bc + ac + ab) \leq (a+b+c)^2 \quad (*) \Leftrightarrow\\ 0 \leq a^2 + b^2 + c^2 - bc - ac - ab \Leftrightarrow\\ 0 \leq 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2bc - 2ac - 2ab \Leftrightarrow\\ 0 \leq (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2, $$ que es claramente cierto.

La interpretación de problemas de embalaje

La desigualdad puede ser interpretado como un $n-1$ dimensiones de embalaje problema. Por ejemplo, si $n=3$ la desigualdad puede ser reorganizado como $3(bc + ac + ab) \leq (a+b+c)^2$, ( * ) anterior. Podemos ver en esta instalación de tres $a \times b$, tres $b \times c$ y tres $c \times a$ rectángulos dentro de un cuadrado con lado de longitud $a+b+c$. Aquí está un ejemplo de una de embalaje:

Título: Supongamos $a < b < c$. Este es un embalaje de 3 rojo $a \times b$, 3 azul $b \times c$ y 3 verdes $c \times a$ rectángulos dentro de un cuadrado con lado de longitud $a+b+c$.

Answer 1

Para $n=4$ la desigualdad se expande a $$ 16 (abc+abd+acd+bcd) \le (a+b+c+d)^3 $$ que se resuelve en https://artofproblemsolving.com/community/c6h494463 el uso de Maclaurin de la desigualdad.

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El mismo enfoque funciona para arbitrario $n \ge 2$: $$ \etiqueta{*} \frac{AM}{HM} \leq \left(\frac{AM}{GM}\right)^n $$ es equivalente a $$ \left(\frac 1n\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i}}\right) \left(\prod_{i=1}^{n}{x_i} \right)\le \left(\frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}\right)^{n-1} $$ que puede ser escrito como $$ \frac{\sum\limits_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{n-1}\le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_{n-1}}}{n} \le \left( \frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}\right)^{n-1} \, . $$

Con los "promedios" $S_k$ se define como $$ S_k = \frac{\sum\limits_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_{k}\le n}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}}{\binom{n}{k}} \quad (1 \le k \le n) $$ la desigualdad se convierte en $$ \etiqueta{**} S_{n-1} \le S_1^{n-1} $$

De Maclaurin de la desigualdad los estados que $$ S_1 \ge S_2^{1/2} \ge \dots \ge S_{n-1}^{1/(n-1)} \ge S_n^{1/n} $$ con igualdad si y sólo si todos los $x_i$ son iguales.

De ello se desprende que $(**)$ – y, por tanto, la desigualdad de $(*)$ – es cierto, y la igualdad ocurre si, y sólo si $n=2$ o $x_1 = \dots = x_n$.