Subespacio vectorial no medible de un espacio de Banach

Question

Mi pregunta es la siguiente:

Dejemos que $(E,\Vert\cdot\Vert_E)$ sea un espacio de Banach real, $\mathcal{B}(E)$ su álgebra sigma de Borel (es decir, el álgebra sigma que contiene todas las bolas abiertas). ¿Es posible que un subespacio vectorial $V$ de $E$ para no ser medible? En particular, ¿es posible en el caso $E$ ¿es separable?

La pregunta surge de este caso particular: dejemos $A:D(A)\to F$ sea un operador cerrado, donde $(F,\Vert\cdot\Vert_F)$ es otro espacio de Banach y $D(A)$ es un subespacio vectorial de $E$ . Sea $X$ ser un $E$ -(de un espacio de probabilidad estándar) tal que $X$ pertenece a $D(A)$ $\mathbb{P}$ -casi seguro. ¿Es cierto que $AX$ es un $F$ -¿variable aleatoria valorada? En el caso que impongo $D(A)$ para ser medible, puedo demostrarlo sin dificultades. Así que la pregunta (más específica que la anterior) es: ¿un operador cerrado $A$ definido en un dominio no medible $D(A)$ ¿Existe?

En el caso de que el espacio $F$ es reflexivo, puedo demostrar que $D(A)$ debe ser medible expresándolo como una unión contable de conjuntos cerrados, pero no tengo idea de cómo abordar el problema sin ninguna suposición sobre $F$ .

ACTUALIZACIÓN

Estoy tratando de construir un contraejemplo utilizando el siguiente espacio:

$$E=\bigg\{ f:[0,1]\to\mathbb{R} \text{ such that } \sum_{x\in [0,1]} f(x)^2<\infty\bigg\}$$

donde la suma (de elementos no negativos) sobre un conjunto no contable se define de la siguiente manera:

$$\sum_{x\in [0,1]} a_x = \sup\bigg\{ \sum_{i\in I} a_i : I\subset [0,1] \text{ finite} \bigg\}$$

En el caso los elementos pueden tener tanto signo positivo como negativo pero $\sum_{x\in [01]}\vert a_x\vert <\infty$ , entonces la suma $\sum_{x\in [0,1]} a_x$ se define tomando las partes positiva y negativa respectivamente.

Esta definición de suma tiene la bonita propiedad de que si $\sum_{x\in [0,1]} \vert a_x\vert<\infty$ entonces puede haber como máximo una cantidad contable de puntos $x$ tal que $a_x\neq0$ . Ahora $E$ es un espacio vectorial que puede ser normado con $$ \Vert f\Vert_E = \sqrt{\sum_{x\in [0,1]} f(x)^2}$$ que es inducido por el producto escalar $$\langle f,g\rangle = \sum_{x\in [0,1]} f(x)g(x)$$ Se puede demostrar que $E$ es un espacio de Banach (y por lo tanto de Hilbert); no es separable, ya que la familia $\{e_x : x\in [0,1]\}$ ( $e_x$ denota la función que envía $x$ a $1$ y todo lo demás a $0$ ) es un incontable, $1$ -familia separada. Además $\{e_x : x\in [0,1]\}$ es una base ortonormal de $E$ (en el sentido de que es una familia de elementos ortonormales tal que cualquier $f\in E$ puede ser aproximado arbitrariamente por combinaciones lineales finitas del mismo). Creo que $E$ es un buen lugar donde buscar un contraejemplo ya que es bastante bonito para trabajar con él pero al mismo tiempo un poco extraño (contiene infinitas copias del $l^2$ espacio).

Para demostrar que un subespacio no es medible, debería mostrar que es la imagen a través de un mapa medible de un conjunto no medible de otro espacio medible. Mi candidato para el subespacio no medible era algo así como $$ V = span\{ e_x : x\in A\}$$ où $A$ es un conjunto de Vitali (o cualquier otro subconjunto no medible de [0,1]). Así que lo que me gustaría es un mapa medible $T:(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\to (E,\mathcal{B}(E))$ (en realidad $T$ no necesita comenzar desde $\mathbb{R}$ pero supongo que es el espacio con el que se trabajaría) tal que la imagen de un subconjunto no medible a través de $T$ es $V$ .

Sin embargo, no he encontrado nada hasta ahora. ¿Alguna idea? Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Respuestas muy breves (las ampliaré si tengo tiempo):

1. Sí, $V$ puede ser no-Borel. El núcleo de un funcional lineal discontinuo tiene esta propiedad. Véase https://mathoverflow.net/questions/41314/non-borel-subspace-of-banach-space

2. Si $E$ y $F$ son ambos separables, el dominio de un operador cerrado es necesariamente Borel. Véase https://mathoverflow.net/questions/219391/existence-of-closed-operators-with-arbitrary-dense-domain-of-a-given-banach-spac para un argumento a partir de algunos hechos estándar en la teoría descriptiva de conjuntos. También puede haber una prueba elemental. No estoy seguro de lo que ocurre si ambos no son separables.