Cómo calcular el límite$\lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 +\cdots+ x^n - n}{x - 1}$?

Question

¿Cómo puedo encontrar el límite de la siguiente función?

$$ \begin{equation*} \lim_{x \to 1} \frac{x + x^2 +\cdots+ x^n - n}{x - 1} \end {ecuación *} $$

Cualquier ayuda será apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Insinuación. Tenga en cuenta que$$\frac{x + x^2 +\dots+ x^n - n}{x - 1}=\frac{(x-1) + (x^2-1) +\dots+ (x^n - 1)}{x - 1}.$ $ Además, para$k\geq 1$,$$\lim_{x\to 1}\frac{x^k-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\left(x^{k-1}+x^{k-2}+\dots +x+1\right)=k.$ $

Answer 2

Sugerencia :

La regla de L'Hospital funciona bien aquí.

Answer 3

Recuerde que$$\sum_{i=1}^n x^i=\frac{x \left(x^n-1\right)}{x-1}$$ Let $ x = y + 1 $ y considere$$S_n=\frac {-n+\sum_{i=1}^n x^i }{x-1}=\frac{\frac{(y+1) \left((y+1)^n-1\right)}{y}-n}{y}$$ Now, using the binomial theorem or Taylor series $$(y+1)^n=1+n y+\frac{1}{2} (n-1) n y^2+\frac{1}{6} (n-2) (n-1) n y^3+O\left(y^4\right)$ $$$(y+1)^n-1=n y+\frac{1}{2} (n-1) n y^2+\frac{1}{6} (n-2) (n-1) n y^3+O\left(y^4\right)$ $$$\frac{(y+1) ^n-1}{y}=n +\frac{1}{2} (n-1) n y+\frac{1}{6} (n-2) (n-1) n y^2+O\left(y^3\right)$ $$$(y+1)\frac{(y+1) ^n-1}{y}=n+\frac{1}{2} n (n+1) y+\frac{1}{6} n \left(n^2-1\right) y^2+O\left(y^3\right)$ $$$(y+1)\frac{(y+1) ^n-1}{y}-n=\frac{1}{2} n (n+1) y+\frac{1}{6} n \left(n^2-1\right) y^2+O\left(y^3\right)$ $ haciendo$$S_n=\frac{1}{2} n (n+1) +\frac{1}{6} n \left(n^2-1\right) y+O\left(y^2\right)$$ which shows the limit and how it is approached when $ y \ a 0 $.

Answer 4

El límite es la definición de la derivada de $$ f (x) = x + x ^ 2 + \ dotsb + x ^ n $$ en$x=1$. Pero $$ f '(x) = 1 + 2x + \ dotsb + nx ^ {n-1} $$ y así $$ f' (1) = 1 + 2 + \ dotsb + n = \ frac {n (n + 1)} {2}. $$