Deje $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ ser una función continua tal que $f(i) = 0$, para todos los $i\in \mathbb Z$ . Cual de las siguientes declaraciones es verdadera$?$
$(A)$ $\operatorname{Image}(f)$ está cerrado en $\mathbb R$.
$(B)$ $\operatorname{Image}(f)$ está abierto en $\mathbb R$.
$(C)$ $f$ es uniformemente continua.
$(D)$ Ninguna de las anteriores.
Si tomamos $f(x) = 0$, para todos los $x\in \mathbb R$, $\operatorname{Image}(f)$ es un singleton conjunto. También sabemos que cada singleton conjunto es cerrado en $\mathbb R$. Así que la opción de $B$ es malo.
Para la opción $(C)$, aprovecho $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f(x) = x \sin\pi x $, esta función $f$ no es uniformemente continua. Así que la opción de $C$ también es incorrecto.
Ahora mi problema es que la respuesta a esta pregunta es la opción $D$ pero no soy capaz de conseguir cualquier función para descartar la opción de $A$. Así que por favor me ayude.
Gracias.