¿Cuándo no puedo sustituir una variable aleatoria por su media?

Question

Una simplificación frecuente en la modelización y la simulación es sustituir una variable aleatoria por su valor medio.

¿Cuándo esta simplificación llevaría a una conclusión errónea?

Answer 1

Si sustituye un valor perdido por una estimación puntual, no tendrá en cuenta toda su variabilidad. Por lo tanto, no propagará toda la variabilidad original a su modelo. Sus estimaciones de los parámetros parecerán demasiado bajas error estándar s. Si haces inferencia, tus valores p estarán sesgados a la baja. Su intervalo de confianza s será demasiado estrecho. Si hace predicción, su intervalo de predicción s será demasiado estrecho.

En general: estará demasiado seguro de sus conclusiones.

Answer 2

Además de los puntos de Stephan:

• En casi cualquier aplicación en la que esté interesado en funciones no lineales de la variable aleatoria, la sustitución de la media generalmente introducirá un sesgo y posiblemente resultados contradictorios. La velocidad media y la masa media de una partícula generalmente no serán consistentes con la energía cinética media, porque la energía escala con V^2.
• El valor medio puede ni siquiera ser un resultado posible para la variable aleatoria. Si mis posibles resultados son 0 "el paciente muere" y 1 "el paciente vive", probablemente no sea útil tener un modelo que describa al paciente como 0,1 "mayormente muerto pero ligeramente vivo".

Answer 3

Un ejemplo de la vida real (relacionado con las dos respuestas que has obtenido), en los mercados financieros. El precio de una opción se basa en la probabilidad de que el precio de un activo suba (o baje) de un nivel determinado.

Por ejemplo, el precio de una opción de compra de un activo a un precio de 100 cuando el valor esperado del activo es de 80. Si se sustituye la variable aleatoria (el precio del activo) por su media, se obtendría un precio de cero (ya que nunca se compraría a 100 un activo que cuesta 80). Si se tiene en cuenta la estocasticidad del activo (y esa es la forma correcta de hacerlo) se obtiene un precio positivo, ya que existe cierta probabilidad de que el precio del activo supere los 100.