Dado un operador acotado $A$ sobre un espacio de Banach $X$, uno puede encontrar el espectro de $\sigma(A)\subset{\bf C}$.
Aquí están mis preguntas:
- Dado un conjunto en el plano complejo, digamos, $S\subset{\bf C}$, se puede encontrar un operador $A$ tal que $\sigma(A)=S$?
- Hay un "gran imagen" para este tipo de preguntas?
Deje $A$ ser un operador acotado en el espacio de Banach $X$.
El espectro de $A$ debe estar cerrada. El conjunto de invertible operadores en un espacio de Banach es abierto, y $\lambda\mapsto A-\lambda I$ es continua. El resolvent conjunto de $A$ (complemento del espectro) es la inversa de la imagen de la invertible operadores en el marco de este mapa.
El espectro de $A$ debe estar acotada. Si $|\lambda|>\|A\|$,$\|\frac{1}{\lambda}A\|=\|I-(I-\frac{1}{\lambda}A)\|<1$. Esto implica que $I-\frac{1}{\lambda}A$ es invertible, que a su vez implica que $A-\lambda I$ es invertible.
El espectro es no vacío. La función de $\lambda\mapsto (A-\lambda I)^{-1}$ es holomorphic en el resolvent conjunto y se va a $0$ en el infinito. Si fuera definida en todo el plano complejo, sería idéntica $0$ por el teorema de Liouville (se puede aplicar de Hahn-Banach y los valores escalares de la versión de Liouville). Pero esto es absurdo, porque $(A-\lambda I)^{-1}$ es invertible, que siempre existe.
Así que para tener alguna esperanza, $S$ debe ser compacto y no vacío. Si usted está permitiendo $X$ a variar, entonces esto es suficiente, y es suficiente para tener en cuenta el espacio de Hilbert como Rasmus ya se ha mencionado. Por ejemplo, usted podría dejar el $\mu$ ser un habitual de Borel medida con el apoyo $S$, y, a continuación, deje $A$ ser el operador en $L^2(\mu)$ definido por $(Af)(x)=xf(x)$. (O usted podría considerar la diagonal de operadores en espacios con las bases.)
Si te refieres a que $X$ es fijo, entonces la respuesta depende de a $X$, y no sé lo que puede decirse en general. Por supuesto, si $X$ es finito dimensional, entonces la posible espectros son los conjuntos de cardinalidad mayor que el de la dimensión de $X$. También hay infinitas dimensiones de los espacios para la que no todo conjunto compacto no vacío puede ser el espectro de un operador. Como se mencionó en un comentario sobre Rasmus la respuesta de Argyros y Haydon mostró que existen infinitas dimensiones de los espacios de Banach en el que cada operador tiene la forma $\lambda I +K$ $K$ compacto. Desde compacto operadores han contables espectro con $0$ como el único posible punto límite, $\lambda I+K$ ha contables espectro con $\lambda$ como el único posible punto límite.
Algunas búsquedas inspirado por Theo Buehler la pregunta (que a su vez fue inspirada por esta pregunta y Nate Eldredge el comentario de arriba) se ha activado el hecho de que hereditariamente indecomposable espacios de Banach que también tienen la propiedad de que todos los operadores tienen contables espectro con más de un punto límite. Cada operador en un espacio de este tipo es escalar más estrictamente singular, y no eran conocidos ejemplos bien antes de Argyros y Haydon avance, como se mencionó en Gowers del blog (y construido por Gowers sí mismo, así como Maurey). También se sabe que hay hereditariamente indecomposable espacios que no todos los operadores es escalar más compacto. Maurey capítulo en el Manual de la geometría de espacios de Banach, Volumen 2, titulado "espacios de Banach con pocos operadores," se da una introducción a estos y mucho más. (Realmente no puedo añadir nada mejor que un puntero a este maravilloso referencia, debido a mi ignorancia.)
En el caso de los espacios de Hilbert, hay algo así como un panorama general sobre cuestiones relacionadas. Brevemente, esto va de la siguiente manera:
deje $X$ ser un equipo compacto subconjunto del plano complejo $\mathbb{C}$. Denotar por $\mathrm{Ext}(X)$ el conjunto de clases de equivalencia de esencialmente normal operadores con espectro igual a $X$. Luego de este conjunto se $\mathrm{Ext}(X)$ es un grupo abelian y, además, un modelo para la $K$-Homología de $X$, la homología de la teoría de la doble a de Atiyah-Hirzebruch $K$-Teoría. Todo esto es parte de la llamada Marrón Douglas Filmore Teorema de la que fue uno de los puntos de partida de $K$-Homología.
Para la clasificación de ciertos operadores (esencialmente normal hasta equivalencia) con fijo espectro de $X \subset \mathbb{C}$ tiene una conexión clásica topología algebraica
Una gran referencia para ello es el libro "Analítica de K-Homología" por Nigel Higson y Juan Corzo.
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