¿La identidad de $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ mantener en un unital álgebra de Banach donde $1$ es la unidad?

Question

Supongamos que tenemos una unital álgebra de Banach $T$ y definimos el seno y el coseno mediante el suministro normal de energía eléctrica de la serie de la definición como para $\mathbb{R}$. Deje $x \in T$ y deje $1$ ser la unidad de $T$. ¿El de Pitágoras identidad trigonométrica $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ todavía?

Answer 1

El Riesz funcional cálculo de mapa de $f\mapsto f(x)$ es un álgebra de homomorphism. Así que para cualquier elemento $x$ en un unital álgebra de Banach y $f,g$ funciones analíticas en algunos subconjunto abierto que contiene a $\sigma(x)$ hemos $(f\cdot g)(x) = f(x) g(x)$ $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ . Así que si $f^2+g^2 =1$, tendremos $f^2(x) + g^2(x) = 1(x)$. Además $1(x)$ es igual a la identidad de la álgebra de Banach. De hecho, el de Pitágoras trigonométricas de identidad se siguen manteniendo.