¿Cuál es la curtosis de la distribución exponencial?

Question

Pregunta Original (con confundir los términos):

Wikipedia Wolfram y Matemáticas del Mundo afirman que la curtosis de la distribución exponencial es igual a $6$. Siempre que puedo calcular la curtosis en matemáticas de software (o manualmente) llego $9$, así que estoy un poco confundido.

Tengo que calcular la 4ª momento central como:

$$ D^4X = \int_0^\infty (x-\lambda^{-1})^4 \lambda e^{-\lambda x} \, dx\,. $$

Y curtosis como:

$$ K = \frac{D^4X} {D^2)^2} $$

Es el enfoque y el resultado correcto (curtosis igual a $9$)? Confío en que el cálculo de esta integral I que se muestra es correcta.

Comentario:

Yo no sabía 'aplanamiento' y 'el exceso de curtosis' son términos diferentes. Gracias a todos por su ayuda.

Answer 1

A menudo "aplanamiento" se entiende por "exceso de curtosis", es decir, la cantidad por la que la curtosis superior a la de la distribución normal, por lo tanto la curtosis menos $3.$

La resta de $3$ tiene sentido en ciertos contextos, incluso sin pensar acerca de la distribución normal. Deje $\mu=\operatorname{E}(X)$ y nota que los dos funcionales $$ \operatorname{A}(X) = \operatorname{E}\big((X-\mu)^4\big) \quad \text{y} \quad \operatorname{B}(X) = \Big(\operatorname{E}\big((X-\mu)^2\) \Big)^2 $$ se $(1)$ homogénea de grado $4$ (es decir, multiplicando $X$ por un escalar $c$ multiplica el valor de la funcional por $c^4,$ $(2)$ traducción-invariante. Pero ellos no son "acumulativos", es decir, independiente de las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ no ha $\operatorname{A}(X_1+\cdots+X_n) = \operatorname{A}(X_1)+\cdots+\operatorname{A}(X_n)$ ni $\operatorname{B}(X_1+\cdots+X_n) = \operatorname{B}(X_1)+\cdots+\operatorname{B}(X_n).$ Pero $\kappa = A-3B$ es homogénea de grado $4$ y la traducción invariante y acumulativa. Y para cualquier coeficiente además de a $-3$ que no funciona. Esta cantidad $\kappa(X)$ es la cuarta cumulant de la distribución de $X.$ El exceso de curtosis es $$ \frac{\kappa(X)}{\sigma^4}. $$

Answer 2

Una más cuidadosa lectura de la MathWorld artículo establece que el exceso de curtosis de una distribución exponencial es $6$. Esta no es la misma que la curtosis, ya que el primero se define como $$\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} - 3,$$ (see Equation 3), as opposed to the simple kurtosis $$\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2},$$ which is Equation (1). The reason for these two definitions is also explained in the article, since $\beta_2$ for a normal distribution is $3$, por lo tanto la definición de exceso de curtosis que representa, en cierto sentido, la cantidad de curtosis en exceso de una distribución normal.

Por lo tanto, no hay ningún error. MathWorld es correcta.

Answer 3

Tengo para $\lambda=1$ $$\int_0^\infty(x-1)^4\exp(-x)\,dx=9.$$ En general puedo conseguir $$\int_0^\infty(x-1)^n\exp(-x)\,dx=D_n,$$ el $n$-th alteración número.

Wikipedia es corregible.