Molesto de los números primos

Question

primero de todo, yo no soy matemático. Yo sólo estaba jugando con los números primos y terminó con esta lista:

2 = 21
3 = 31
5 = 51
7 = 31 + 22
11 = 21 + 32
13 = 131
17 = 51 + 22 + 23
19 = 21 + 32 + 23
23 = 111 + 22 + 23
29 = 171 + 22 + 23
31 = 191 + 22 + 23
37 = 371
41 = 51 + 32 + 33
43 = 71 + 32 + 33
47 = 111 + 32 + 33
53 = 171 + 32 + 33
59 = 231 + 32 + 33
61 = 611
67 = 71 + 22 + 23 + 2⁴ + 2⁵
71 = 671 + 22
73 = 611 + 22 + 23
79 = 31 + 72 + 33
83 = 791 + 22
89 = 131 + 72 + 33
97 = 131 + 32 + 33 + 2⁴ + 2⁵
101 = 971 + 2²
103 = 111 + 7² + 3³ + 2⁴
107 = 1031 + 2²
109 = 171 + 7² + 3³ + 2⁴

Edit2: Como se ha señalado por @Carlos, 29, 67 y 97 no son molestos.

Yo sólo estaba jugando tratando de escribir los números primos después de este formulario

un¹ + b² + c³ ...

(sólo una regla, debe ser la de todos los exponentes, o bien el número debe ser escrito por sí mismo. De modo, que no puede tener un número escrito en la forma a¹ + b³ + c⁴)

Edit: en realidad, Hay dos reglas, se me olvidaba decir que a, b, c... debe ser de los números primos.

Algunos de los números primos, los más audaces, sólo puede ser escrito con exponente 1. Llamé a continuación, molesto de los números primos, en la falta de un nombre mejor.

Es alguna de las propiedades de estos números primos? ¿Hay una fórmula para expresar esto?

Answer 1

Sólo puedo encontrar 6 molesto de los números primos: 2, 3, 5, 13, 37, y 61.

Habéis dado en estos y otros tres ejemplos, pero no se sostiene: $$29 = 17 + 2^2 + 2^3$$ $$67 = 7 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5$$ $$97 = 13 + 3^2 + 3^3 + 2^4 + 2^5$$

Por el general de la densidad de los argumentos que uno esperaría:

Conjetura: Hay sólo un número finito molesto números primos.

Plantear este problema que refuerce mi conjetura:

Problema abierto: hay un número finito de números que no pueden expresarse con mayor exponente 2, 3, 4, o 5?

Lamentablemente no tengo un equipo de aquí para comprobar que, tal vez alguien más lo hará y el informe de nuevo.