¿Cómo calcular el área superficial de un cubo dado una diagonal?

Question

Me encontré con este problema mientras practicaba para una competencia de matemáticas.

Un cubo tiene una longitud diagonal de 10. ¿Cuál es el área superficial del cubo? No se permiten calculadoras.

(Énfasis mío)

ni siquiera estoy seguro por dónde empezar con esto, así que garabateé algunos números y resolví para un cuadrado en lugar de un cubo. Presumiblemente, puedes calcular la diagonal de un cubo usando el Teorema de Pitágoras de alguna forma, aunque no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Sólo es el teorema de Pitágoras:

Answer 2

Este problema tiene una solución simple: $s=2d^2$ donde $s$ es el área de la superficie y $d$ es la diagonal espacial.

Explicación:

Descubrí a través de Google (mientras escribía la pregunta) que la longitud lateral de un cubo se puede calcular con $d = a\sqrt{3}$ donde $d$ es la diagonal del cubo y $a$ es la longitud de un lado único. Sin embargo, creo que la pregunta sigue siendo válida y podría ser útil para futuros usuarios, así que la responderé yo mismo.

Sabemos que el área de la superficie es igual a $6a^2$, así que aislando a: $$d=a\sqrt{3} \\ d^2=3a^2 \\ \frac{d^2}{3}=a^2 \\ a=\sqrt{\frac{d^2}{3}} \\ a=\frac{d\sqrt{3}}{3}$$ Esto significa que el área de la superficie es igual a $6\left(\frac{d\sqrt{3}}{3}\right)^2$ Expandiendo para simplificar aún más: $$s=6\left(\frac{d\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{d\sqrt{3}}{3}\right) \\ s=6\left(\frac{3d^2}{9}\right) \\ s = \frac{6d^2}{3} = 2d^2$$

El área de la superficie se puede calcular por $2d^2$

Vamos a comprobar esto: Yendo por el camino largo: $$10=a\sqrt{3} \\ 100=3a^2 \\ \frac{100}{3}=a^2 \\ a=\sqrt{\frac{100}{3}} \\ a = \frac{10}{\sqrt{3}} \\ a=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$ Esto significa que la longitud de lado del cubo es $\frac{10\sqrt{3}}{3}$. Si elevamos al cuadrado esto, obtenemos el área de una sola cara es $\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2$

$$s=\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2 \\ s=\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right) \\ s=\frac{100\sqrt{9}}{9} \\ s=\frac{300}{9} \\ s=\frac{100}{3} $$

Esto significa que el área de la superficie de una sola cara es $\frac{100}{3}$, Así que multiplicamos por seis para obtener el área de superficie total: $\frac{600}{3} = 200$

Y yendo por el camino corto nos da $2(10)^2 = 200$. Ambos caminos nos dan la misma solución.

Answer 3

Bien. Deje que $a$ sea la longitud de un cubo. Entonces la diagonal de una cara es $a \sqrt 2$. Ahora, nuevamente, usando Pitágoras, la diagonal del cubo es $$ d= \sqrt{\left(a \sqrt2 \right)^2 + a^2} = a \sqrt3.$$

Answer 4

Sin usar raíces cuadradas:

$$10^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 = 100 \\ $$ $$SA = 6a^2 = 2(3a^2) = 2×100 = 200$$