¿Los límites de las matemáticas?

Question

• Hay cinco respuestas posibles a una pregunta de opción múltiple. Dado que el alumno no conoce la respuesta, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno elija la primera respuesta?

Es decir no un problema matemático bien formado, por decir algo, pero una vez le dije a un estudiante que en realidad no es un problema matemático y no pudo entender por qué, y pensó que obviamente era un problema matemático.

Pero me pregunto si nuestra comprensión de lo que constituye un problema matemático debería ampliarse un poco más allá de lo que los matemáticos creen convencionalmente que es, para incluir casos de razonamiento que pueden hacer los matemáticos y que son desconocidos para otros, en la medida en que esos otros no son matemáticos.

Obviamente, esto requiere ejemplos, y en este momento sólo tengo dos:

• Claramente Problema de maximización del ángulo de Regiomontanus es un problema matemático. Se plantea un cuadro colgado en una pared con sus bordes más bajos y más altos por encima del nivel de los ojos. Dadas esas dos alturas sobre el nivel de tus ojos, ¿a qué distancia de la pared debes situarte para maximizar el ángulo cuyo vértice está en tu ojo y cuyos rayos inciden en la parte superior e inferior del cuadro? (Esto tiene una solución por geometría elemental que no implica cálculo, otra solución por una forma poco convencional de completar el cuadrado, y otra por cálculo, en la que quizás la forma más eficiente es maximizar directamente el tangente del ángulo). Sin embargo, A menudo la gente lo expresa de forma incorrecta: preguntan a qué distancia de la pared se ve mejor el cuadro. Supongamos, pues, que anuncio el siguiente "teorema":

  La distancia de la pared que maximiza el ángulo hace no generalmente coinciden con la distancia que le da la mejor visión del cuadro.

  Si se trata de un teorema entonces tiene un prueba . Aquí está:

  En primer lugar, suponga que el borde inferior del cuadro está exactamente a la altura de sus ojos. Entonces maximizarías el ángulo colocando tu párpado en contacto con el borde inferior del cuadro. Al acercarse a ese punto, el ángulo se aproxima $90^\circ,$ y no puede obtener más que eso. Pero está claro que ésta no es la mejor visión posible. A continuación, supongamos que el borde inferior está una décima de milímetro por encima del nivel de los ojos. Si la parte superior del cuadro estuviera un metro por encima del nivel de los ojos, entonces el ángulo se maximiza haciendo que la distancia sea de un centímetro. Evidentemente, sigue sin ser la mejor vista. La calidad de la vista varía continuamente con la distancia, y el ángulo también varía continuamente con la distancia, por lo que el ángulo no puede coincidir repentinamente con la calidad a medida que te alejas lentamente. Quod erat demonstrandum.

• Supongamos que el queso y la tiza son dos productos que tienes la costumbre de comprar. Si le robo parte de su queso o parte de su tiza, le dejo en peor situación que la que tenía, y si gana parte de cualquiera de las dos cosas, su suerte mejora. Supongamos ahora que tienes $20$ unidades de queso y $30$ unidades de tiza, estás tan bien como si tuvieras $50$ unidades de queso y $20$ de tiza. Si $f(x,y)$ es su utilidad de $x$ unidades de queso y $y$ de tiza, entonces el conjunto de niveles de $f$ que pasa por los dos puntos que acabamos de describir podría tener cualquiera de las muchas formas; se trata de una "curva de indiferencia". Descubrir estas curvas es una cuestión empírica, no matemática, y los economistas han descubierto que en situaciones realistas pueden tener cualquiera de las muchas formas. Nada de esto es un teorema matemático, sino una constatación empírica. Pero supongamos ahora que si usted invierte su riqueza de una manera determinada, la distribución de probabilidad de las cantidades de queso y tiza que tendrá el próximo 30 de febrero es así y así, pero si invierte su riqueza de otra manera, tiene una distribución de probabilidad diferente. Supongamos que es indiferente entre esas dos distribuciones de probabilidad. Ahora enunciamos un "teorema":

  La curva de indiferencia entre sus dos distribuciones de probabilidad de igual valor debe ser una línea recta.

  Prueba: Puesto que eres indiferente entre ellas, te da igual que tire los dados para decidir cuál te toca. Por tanto, cualquier media ponderada de las dos distribuciones tiene la misma utilidad que cualquiera de ellas. Q.E.D.

¿Por qué deberíamos considerar que estos "teoremas" y "pruebas" pertenecen a las matemáticas en lugar de estar ubicados en alguna otra región del ámbito intelectual? A lo que yo respondo: Porque sólo la comprensión de las matemáticas puede hacer que se entiendan.

No es una postura de la que esté convencido, pero sí creo que los fundamentos del tema no se entienden tan bien como muchos creen.

Preguntas: ¿Acaso estos ejemplos influyen en la cuestión de dónde están los límites de la disciplina?

Answer 1

Seguramente habrás pensado algunas veces en todo lo que voy a decir aquí, pero intentaré expresarme de tal manera que trate de mantenerme lo más posible dentro de los límites de la pregunta, de tal manera que interprete tu pregunta.

En primer lugar, parece que la pregunta en sí misma incluye la necesidad de precisar al máximo (con respecto al estado actual de esta rama de la ciencia) la propia definición de "matemáticas".

Porque, ¿cómo hablar de los límites de las matemáticas si no hay una definición suficientemente clara de las mismas?

La definición de las matemáticas podría depender del tiempo y podría ser que tuviera que cambiar a medida que la materia evoluciona (o avoluciona) en el tiempo y con tales procesos podría ser que los límites de la materia también se "expandieran" para incluir más y más dentro de la materia.

Aunque no tengamos una definición suficientemente clara de las matemáticas, podríamos intentar definir el concepto de "teorema" y de "prueba (válida o inválida)".

Una vez armados con algunas definiciones de "teorema" y "prueba", podemos argumentar qué es y qué no es un teorema, y qué es y qué no es una prueba válida o inválida, pero sólo con respecto a la definición que utilicemos (o definiciones).

Esto podría dar lugar a diferentes "teorías de teoremas" y diferentes "teorías de pruebas", y, en general, a "teorías de la teoría", pero todo depende de la definición.

Así que todo esto es muy subjetivo y basado en la opinión, al menos si me preguntan a mí.

No sé qué más decir y estoy extremadamente cansado, así que me detendré aquí, consciente de que no he explicado casi nada.

Answer 2

En resumen, su pregunta se refiere al debate entre nominalismo y realismo. Si las cosas tienen propiedades matemáticas en la vida real (sin personas), entonces la creación de modelos pertenece a las matemáticas, ya que éstas son esenciales en el universo. Creo que las personas dan las propiedades matemáticas a los objetos, y que la creación de modelos comienza en la mente, no en la realidad ni en las matemáticas propiamente dichas.

Como usuario Petr Naryshkin Como se ha señalado en los comentarios, tu pregunta se refiere a si la creación de modelos forma parte de las matemáticas propiamente dichas. Sé que el proceso de creación de modelos no puede pertenecer a una prueba formal, y estoy algo seguro de que no pertenece a las matemáticas propiamente dichas.

Si alguna vez intentas hacer una demostración formal de las proposiciones mencionadas, o realmente cualquier cosa que aplique las herramientas de las matemáticas al mundo real, te encontrarás importando axiomas. Ese es tu modelo base.

¿De dónde vienen estos axiomas? ¿Son verdaderos estos axiomas?

No se puede responder a esto dentro de la teoría de la prueba. Tal vez puedas utilizar la teoría de la prueba para desarrollar axiomas más básicos, y averiguar si los axiomas subyacentes son consistentes entre sí (o si es posible conocer la consistencia), pero no hace ninguna otra suposición sobre los axiomas.

Para responder a estas dos preguntas, hay que salir al exterior. Euclides nunca hizo ninguna suposición sobre lo que eran los puntos, las líneas y la relación "yaciendo sobre", sólo que estas entidades tenían una determinada forma de interactuar entre sí. Y ese proceso de creación de significado es puramente social y poco riguroso. Es un proceso psicológico de desarrollo de analogías con objetos y fenómenos previamente experimentados, exactamente del mismo modo que se desarrolla el lenguaje. Introducir nociones mundanas en las formas ideales de las matemáticas, y posteriormente sacar la consecuencia, es un proceso psicológico. El hecho de que un transbordador espacial orbite y se acople correctamente con inmensa precisión, o que las partículas se descompongan conservando las cantidades numéricas, no hace sino reflejar un mapeo común efectivo y socialmente establecido de los objetos a los conceptos; los modelizadores mapearon "correctamente" sus objetos a sus correspondientes nociones matemáticas.

No sé qué nombre tiene este punto de vista filosófico, tal vez Nominalismo ? Creo que podría estar en desacuerdo con la metafísica de realismo científico que dice que "Las entidades descritas por la teoría científica existen de forma objetiva e independiente de la mente".

Answer 3

Parece que está haciendo dos preguntas relacionadas: (1) ¿se conocen los límites de las matemáticas? (2) ¿se conocen bien los fundamentos de las matemáticas?

En lugar de responder a estas preguntas a partir de principios filosóficos como la dicotomía realismo/nominalismo, yo sugeriría que la respuesta se encuentra en un examen de la historia de las matemáticas. A principios del siglo (XIX), las matemáticas se entendían como el análisis aritmético practicado por Weierstrass y sus alumnos. En 1900, en su célebre conferencia en el congreso mundial de matemáticos de París, David Hilbert dio un vuelco a la visión tradicional al ofrecer un amplio abanico de problemas que incluían la teoría de conjuntos, la lógica y la axiomatización de la física (sólo una minoría de ellos relacionados con el análisis aritmético). Por supuesto, éste no es el único caso, pero quizá uno de los más famosos, en el que los límites de la materia han cambiado drásticamente con el tiempo.

Si la materia de las matemáticas evoluciona, sus fundamentos también tienen que hacerlo, como demuestra el desarrollo histórico de la teoría de las categorías a partir de los años 50, que desafía los fundamentos tradicionales de la teoría de conjuntos.

Un aspecto importante del panorama es el hecho de que los límites de las matemáticas no siempre son crecientes; a veces son que se encoge . Así, infinitesimales formaron parte del paisaje del análisis matemático durante unos dos siglos: 1670-1870. En algún momento después de 1870 se dictó una prohibición más o menos oficial contra ellos (que, sin embargo, no se siguió de manera uniforme) que se mantuvo durante unos 90 años. Alrededor de 1960 infinitesimales fueron devueltos a la respetabilidad, aunque algunos siguen tratando de aplicar la obsoleta prohibición.

Por lo tanto, mi respuesta a ambas preguntas es negativa.