Estoy teniendo un tiempo difícil agarrar grupos en Teoría de grupos. Es ok para visualizar como se establece con el grupo de axiomas y una operación binaria, intuitivamente como un diagrama de venn? y G sin * es muy confuso para mí. Me parece que no puede pasar en mi estudio de la Teoría de grupos a causa de esto. ¿Alguien puede recomendar también me las fuentes en línea para una comprensión clara de grupos, por favor. ¿Cuáles son algunas de las aplicaciones de los grupos? ¿cómo se puede aplicar y se ven a ellos para comprender mejor el propósito de ellos. Me siento muy ansioso cada vez que abro mi libro de texto sobre Teoría de grupos y es debido a estas respuestas que me estoy perdiendo. He mirado a través de un sinfín de libros y notas en línea. Todo se parece demasiado complejo y no se sienta en mi mente. Me encantaría estudiar este tema de manera más eficaz. Yo tenía este problema, mientras que el estudio de la Teoría de conjuntos y necesito otro enfoque para la Teoría de grupos. Gracias!
Respuestas
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Grupos de simetrías. La mejor manera de pensar acerca de un grupo que tiene un objeto que tiene algún tipo de simetría, y el grupo que representa matemáticamente que la simetría. Por ejemplo, $D_8$ es la simetría de una plaza, con todos los elementos que representan una rotación de flip de la plaza; $C_5$ es la simetría de los cinco objetos girar en un círculo, con cada elemento que representa una rotación diferente; y $S_7$ es la simetría de $7$ puntos que pueden ser permutados en la industria de la moda, con cada elemento corresponde a una diferente reording.
En mi opinión, este es, de lejos, la mejor manera de pensar acerca de los grupos, incluso de manera abstracta. Usted tiene algunos sin especificar el objeto y a cada elemento del grupo que representa una forma de que un objeto o colección de objetos puede ser hilado, volteado, que se refleja, etc. sin cambiar.
Vea aquí un lindo interactivo ilustración de $D_8$ siendo el grupo de simetría de un cuadrado.
El video "1 de teoría del grupo de visualización" es en mi opinión una visualización casi ideal- y un buen resumen introductorio-de grupos.
Además, leyendo el libro clásico "simetría" por Herman Weyl es una necesidad.
Estoy casi seguro de que el grupo de teoría se ha desarrollado para describir las transformaciones de la simétrica de los objetos.
Por ejemplo vamos a tomar un cubo. Vamos a considerar todas las rotaciones del cubo tal que el cubo se mantiene en su lugar. F. e. usted puede girar alrededor de ejes verticales $z$$\pi/2$. O usted puede girar alrededor de ejes horizontales $x$. Qué pasa si combinamos estas dos transformaciones? Usted podría conseguir algunos nuevos rotación, probablemente alrededor de algunos diagonal del cubo.
Usted puede rotar el cubo alrededor de la $z$$5/2\pi$. Después de que su posición sería la misma después de la rotación alrededor de $z$$\pi/2$. Vamos a contar las rotaciones idénticos debido a que producen la misma posición final.
Cuántas rotaciones del cubo son posibles? (sugerencia: 24)
- Digamos que si no girar un cubo en todo esto ES una rotación ("idéntico" rotación).
Tenga en cuenta que:
Por cada dos rotaciones de la combinación de estas rotaciones es también la rotación.
Para cada rotación no es un 'frente' de rotación, que devuelve el cubo en la posición original.
Tenga en cuenta, que estas tres propiedades se asemejan mucho a la definición de grupo.
Cubo es simétrica. Pero hay muchos simétrica objetos, simétrica en su propio camino, no como un cubo. El grupo de transformación de un objeto (conjunto de posibles transformaciones y una regla, lo que da un resultado de la combinación de dos transformaciones) es una descripción matemática de "cómo exactamente este objeto es simétrico".
Otro ejemplo. Considere la posibilidad de Cubo de Rubik. Hay un grupo de transformaciones de Cubo de Rubik. Elementos del grupo son combinaciones de simple lados rotaciones (f.e. gire la fachada hacia la derecha, luego a la izquierda el lado de las agujas del reloj, y luego de vuelta la cara dos veces). Usted puede comprobar fácilmente que estas transformaciones forman un grupo.
Y tan pronto como yo lo entiendo como un grupo, puedo demostrar que si se repite la misma transformación, muchas veces, más pronto o más tarde, usted recibirá en su estado original! (bueno, he utilizado un dato más: no número de tales transformaciones si finitos).
Por cierto, ¿cuál es el número de estados posibles del Cubo de Rubik? Google lo sabe, pero que fácilmente se puede demostrar que es divisible por 4, porque hay un subgrupo con 4 elementos.
Teoría de grupo es genial.
Aquí es una muy buena e informativa serie de videos acerca de los grupos: Visual Teoría de grupos.
La serie abarca un montón de cosas. Todo a partir de los axiomas de la Teoría de Galois. Todo es visualizada por los diagramas e intuitiva observaciones.
Entonces no es de este vídeo. Es el mejor video que he encontrado sobre la aplicación de la teoría de grupos.
P. s. Sé que el sentimiento que tienen. Cuando yo estaba aprendiendo teoría de grupo, yo también estaba luchando con la falta de intuición detrás de la teoría. Pero una vez más, usted encontrará teoría de grupo super interesante el tema.
Los grupos son sólo permutación de grupos. Por Cayley del teorema, cada grupo $G$ es isomorfo a algunos de los subgrupos de $S_n$, el grupo de todas las permutaciones en $n$ elementos, para algunos $n$. La prueba es para asociar cada una de las $g\in G$ con la función de $f_g:G\to G$ definido por $f_g(x)=gx$. El grupo de axiomas garantía de que este es un bijection, y el axioma de asociatividad, en particular, dice que $f_{gh}=f_g\circ f_h$.
Por lo tanto, si te gusta, teoría de grupos es sólo la teoría de permutaciones (a veces en conjuntos infinitos). Intercambiando huevos alrededor de un cartón de huevos.
