¿Por qué es de "mal gusto" tener una cantidad dimensional en el argumento de una función logarítmica o exponencial?

Question

Me han dicho que nunca se ve en física, y que es de "mal gusto" tenerlo en los casos de ser el argumento de una función logarítmica o la función elevada a $e$ . No consigo entender por qué, aunque supongo que sería raro elevar un número adimensional a la potencia de algo con dimensión.

Answer 1

No es "mal gusto", es incalculable hasta el punto de no tener sentido.

El objetivo del análisis dimensional es que hay algunas cantidades que no son comparables entre sí: no se puede decidir si un metro es mayor o menor que diez amperios, y tratar de sumar cinco voltios a diez kelvin sólo dará lugar a un sinsentido inoperante. (Para saber por qué, consulte ¿Qué justifica el análisis dimensional? y su muchos duplicados vinculados en la barra lateral de la derecha).

Esto es precisamente lo que ocurre con, por ejemplo, la función exponencial: si quisieras la exponencial de un metro, entonces tendrías que ser capaz de dar sentido a $$ \exp(1\:\rm m) = 1 + (1\:\rm m) + \frac12(1\:\rm m)^2 + \frac{1}{3!}(1\:\rm m)^3 + \cdots, $$ y eso requiere que seas capaz de sumar y comparar longitudes con áreas, volúmenes y otras potencias de posición. Puedes intente para recortar las unidades y lidiar con ello, pero ten en cuenta que tiene que coincidir, exactamente el equivalente $$ \exp(100\:\rm cm) = 1 + (100\:\rm cm) + \frac12(100\:\rm cm)^2 + \frac{1}{3!}(100\:\rm cm)^3 + \cdots, $$ y no hay una forma invariable de hacerlo.

Ahora, para ser claros, la cuestión es mucho más profunda que eso: el verdadero problema con $\exp(1\:\rm m)$ es que sencillamente no hay una forma significativa de definirlo de manera que (i) sea independiente del sistema de unidades, y (ii) mantenga un conjunto de propiedades que realmente le hagan ganar el nombre de exponencial. Si lo que uno quiere es una forma sencilla y clara de verlo, un buen ángulo es observar que, si uno definiera $\exp(x)$ para $x$ con dimensión no trivial, entonces entre otras cosas se le pediría que obedeciera la propiedad $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\exp(x)=\exp(x), $$ que es dimensionalmente inconsistente si $x$ (y por lo tanto $\mathrm d/\mathrm dx$ ) no es adimensional.

También se ha señalado en los comentarios, y de hecho en un documento publicado que sí se pueden tener series de Taylor sobre cantidades dimensionales, simplemente poniendo $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \frac{\mathrm d^nf}{\mathrm dx^n}(0)x^n$ Y eso es bastante cierto. Sin embargo, para las funciones trascendentales no queremos cualquier serie de Taylor, queremos las canónicas: a menudo son la definición de las funciones para empezar, y si alguien propusiera una definición de, digamos $\sin(x)$ para el dimensionamiento $x$ entonces, a menos que pueda enlazar con la serie canónica de Taylor, simplemente no vale la pena el nombre. Y, como se ha explicado anteriormente, las series de Taylor canónicas tienen problemas fundamentales de escalado que las dejan sin efecto.

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Dicho esto, para los logaritmos se puede en algunas ocasiones muy concretas hablar del logaritmo de una cantidad dimensional $q$ pero ahí estás tomando esencialmente algún representante $q_0$ y calculando $$\log(q/q_0)=\log(q)-\log(q_0),$$ donde al dar sentido a esto último se requiere que los dos valores numéricos estén en las mismas unidades, en cuyo caso la respuesta final es independiente de la propia unidad. Si la situación también permite prescindir de las constantes aditivas, o incorporarlas a otra cosa (como cuando se resuelven EDOs, por ejemplo, siendo un caso representativo el potencial electrostático de una carga lineal infinita o cuando se realicen gráficos en escala logarítmica), entonces podría deshacerse del $\log(q_0)$ en el entendimiento de que saldrá a flote cuando vuelvas a poner los puntos sobre las íes.

Sin embargo, que se pueda hacer en el caso concreto del logaritmo, que es único al convertir las constantes multiplicativas en aditivas, no significa que se pueda utilizar en otros contextos y no se pueda.

Answer 2

Visión ortodoxa

Un poco de forma en el tema: $\exp x$ puede expresarse como una serie:

$$\exp x=1 + x +\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$$

Así que si $x$ tiene unidad $X$ entonces los términos de esta serie tienen unidades respectivas

$$\text{None}, X, X^2, X^3, \cdots X^n, \cdots$$

que no es dimensionalmente consistente. El mismo argumento para $\ln$ o para cualquier función analítica (es decir, una función que pueda expandirse en dicha serie). Esto se aplicaría también a algo tan simple como

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots.$$

En realidad, ni siquiera se necesita la serie completa. Basta con dos términos de una expansión de Taylor para forzar que la variable sea adimensional. Por ejemplo, si una función $f(x)$ va como

$$f(x) = x - x^2 + O(x^3),$$

como $x$ llega a 0, por ejemplo, entonces $x$ no puede tener una dimensión $X$ De lo contrario, se acabaría añadiendo $X$ y $X^2$ . Por supuesto, esto se aplica también a las series asintóticas, como

$$f(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right),$$

como $x\to+\infty$ .

El juego en torno a la ortodoxia

¿Y el siguiente argumento? Tomaré un ejemplo muy simple, que no implica ninguna serie,

$$f(x) = x + x^2.$$

El argumento ortodoxo anterior implica que $x$ será adimensional. Pero voy a argumentar que los coeficientes 1 de $x$ y $x^2$ realmente tienen dimensión $X^{-1}Y$ y $X^{-2}Y$ , donde $X$ es la unidad de $x$ y $Y$ se convertiría en la unidad de $f(x)$ . Hace que todo sea coherente, ¿no? Sí, pero es una parodia porque significa que en lugar de $f(x)$ nos ocupamos realmente de

$$f_\text{pseudo}(x) = a\left(\frac{x}{x_0}+\left(\frac{x}{x_0}\right)^2\right),$$

donde $x_0$ tiene unidad $X$ y $a$ tiene unidad $Y$ Es decir, que

$$f_\text{pseudo}(x) = af\left(\frac{x}{x_0}\right).$$

Y aquí está: el argumento de $f$ es efectivamente adimensional. El argumento se generaliza a cualquier serie. Veamos la exponencial como ejemplo:

$$\exp x = \sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}x^n.$$

Así que el argumento sería entonces que $1/n!$ tiene unidad $X^{-n}$ en realidad. Es justo, pero entonces en lugar de $\exp$ significa que nos ocupamos de

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\sum_{i=0}^n \frac{1}{n!}\left(\frac{x}{x_0}\right)^n,$$

donde $x_0$ tiene la dimensión $X$ y donde ahora $1/n!$ es adimensional, y como en el caso anterior $a$ tiene alguna dimensión $Y$ . Es decir, que

$$\exp_\text{pseudo}(x) = a\exp\frac{x}{x_0}.$$

Así que terminamos con el argumento de $\exp$ siendo adimensional.

Mi opinión visceral sobre este pequeño juego: ¡bueno, duh! Todo eso para eso, ¿en serio? Además, como señala Emilio Pisanty's en los comentarios, requiere que arranquemos una balanza $x_0$ (y otra escala $a$ potencialmente) del cielo: el objetivo del análisis dimensional es que hayamos tenido en cuenta de antemano todas las cantidades dimensionales posibles. Aquí introducimos otra a posteriori y no tiene sentido ni para Emilio ni para mí.

Answer 3

La razón por la que tu instructor lo calificó de "mal gusto" en lugar de directamente incorrecto es porque la gente hace esto todo el tiempo con el logaritmo. El logaritmo es único porque permite dividir los factores multiplicativos en términos aditivos, por lo que la gente escribirá algo como $$\log(r/r_0) = \log(r) - \log(r_0) = \log(r) + C.$$ La forma más común de hacerlo accidentalmente es a través de una integral, $$\int \frac{\mathrm dr}{r} "=" \log r + C.$$ Esto es técnicamente incorrecto pero casi todo el mundo lo escribe así. Al final, siempre puedes combinar las constantes de nuevo en el logaritmo para que los argumentos tengan las dimensiones correctas.

Answer 4

Las otras respuestas son correctas en el sentido de que cuando se piensa en términos de análisis de unidades no se pueden sumar cantidades que tienen diferentes unidades entre sí. Aun así, formalmente siempre se puede hacer algo como $$f\left(\frac{x}{1\operatorname{m}}\right)$$ para conseguir algo que funcione, matemáticamente.

Donde se convierte en mal gusto/malas prácticas es en el hecho de que hayas introducido ese denominador, tú mismo, a mano. En cualquier problema físico que requiera evaluar alguna función complicada, como $\sin$ , $\ln$ o $\exp$ Siempre habrá alguna cantidad físicamente relevante con las mismas unidades que permita formar una cantidad sin unidades. Por ejemplo, al trabajar con el oscilador armónico simple podemos combinar la constante del muelle, $k$ y la masa, $m$ , para producir una cantidad con las unidades de tiempo inverso, $\omega \equiv \sqrt{k/m}$ . Es que $\omega$ que nos permite escribir de forma sensata $x=A\sin(\omega t)$ para describir el movimiento del oscilador.

Answer 5

A nivel del PO, creo que las respuestas existentes son suficientes. Pero desde un punto de vista más profundo, la respuesta aceptada es completamente errónea . Una expresión de la forma $$ \exp(1\ \mathrm m) $$ está perfectamente definido y tiene sentido. ¿Por qué no lo tendría? En física, las unidades son elementos de un anillo de división 1 y cualquier función de ellas está bien definida, al menos en el sentido de las series de potencias formales.

¿Podría preguntar si una expresión de la forma $$ \exp(x) $$ ¿está bien definido? Obviamente lo está, al menos mientras $x^n$ es una expresión bien definida, para todo $n\in\mathbb N$ .

Se puede preguntar cuál es el valor numérico de $\exp(1\ \mathrm m)$ , al igual que se preguntaría cuál es el valor numérico de $\exp(x)$ . Pero la pregunta no tiene sentido, porque ambos $\mathrm m$ y $x$ son variables formales -- no tienen un valor prescrito a priori . Hasta que no se especifique cuál es el valor numérico de estas variables, no se puede preguntar cuál es el valor numérico de ninguna función de ellas.

El mapa más natural del conjunto de unidades a los reales es $$ \begin{aligned} 1\ \mathrm m&=6.2\ 10^{34}\\ 1\ \mathrm s&=1.9\ 10^{43}\\ 1\ \mathrm{kg}&=4.6\ 10^7\\ 1\ \mathrm K&=7.1\ 10^{-33} \end{aligned} $$ bajo el cual $\exp(1\ \mathrm m)=2.7\ 10^{34}$ . Esta elección de unidades se denomina unidades naturales y se utilizan todo el tiempo en, por ejemplo, la cosmología, donde nadie pestañearía al escribir $\log T$ o expresiones similares.

El usuario DanielSank pregunta en los comentarios cómo compararías $\exp(1\ \mathrm m)$ a $\exp(1\ \mathrm s)$ . Fácil: en unidades naturales, la segunda es como diez órdenes de magnitud mayor que la primera. En otras unidades, esto puede cambiar, pero no hay nada incoherente en esto. Pregúntate: ¿qué es más grande? $\exp(x)$ o $\exp(y)$ ? Obviamente, la respuesta depende de $x,y$ Al igual que en el caso de las unidades, la respuesta depende del valor numérico al que queramos asignar estas unidades.

En resumen: desde el punto de vista de las matemáticas puras, no hay nada mágico en las unidades. Se pueden considerar como variables formales ("incógnitas"), sujetas a las leyes básicas de la aritmética. Se puede considerar cualquier función de estas variables, al igual que se puede considerar cualquier función de la variable $x$ . La expresión $1\ \mathrm{meter}+2\ \mathrm{second}$ no es diferente de la expresión $x+2y$ . Ambos están, en principio, bien definidos.

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1: Más precisamente, cualquier objeto dimensionado es un elemento de $\mathbb R[\dots,\mathrm m^{-1},\mathrm m,\mathrm m^2,\dots,\mathrm s^{-1},\mathrm s,\mathrm s^2,\dots]$ .