Es el centro de una C*-álgebra un sub-C*-álgebra?

Question

Creo que la respuesta es afirmativa y agradecería cualquier comentario en mi intento de (ver más abajo) de la prueba de esto.

Deje $A$ ser una C*-álgebra y denotan por $Z(A)$ el centro de la $A$.

1. Primero de todo, es evidente que $Z(A)$ es una subalgebra de $A$.
2. Además, es fácil ver que $Z(A)$ es cerrado bajo las $*$-operación.
3. Todos los elementos de a $Z(A)$ satisfacer el llamado de C*-identidad, puesto que $Z(A)$ es un subconjunto de a $A$.
4. $Z(A)$ es la norma-cerrado.

El único paso que no me siento cómodo con el paso 4. Aquí es cómo iba a intentar demostrar que:

Tomar una secuencia $\{c_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ de los elementos de $Z(A)$ convergentes a $c\in A$. Queremos mostrar que $c\in Z(A)$.

Deje $a\in A$ ser arbitraria. Claramente $c_n a - a c_n = 0$ tiene para todos los $n\in \mathbb{N}$. Por supuesto,$\lim_{n\to \infty} ||c-c_n|| = 0$.

Ahora,

$|| ca-ca || = || ca-ca + c_n un - un c_n || = | | (c-c_n) + (c_n-c)) | | \leq 2 ||a|| \cdot ||c-c_n|| $

Por lo tanto, $||ac-ca||=0$ y, por tanto,$ac=ca$. A la derecha?

(De alguna manera, las dos últimas líneas me da una mala sensación en mi estómago que no puedo explicar.)

Answer 1

Edit: se me olvidó contestar a la pregunta del título: sí el centro de una $C^{\ast}$-álgebra es de hecho un $C^{\ast}$-álgebra.

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Como con los otros pasos, también su argumento para el paso 4. está bien. Si $c_n \in Z(A)$ $c_n \to c \in A$ $c \in Z(A)$ debido a que para cada $a \in A$ tenemos $\|ac -ca\| = \|a(c-c_n) - (c-c_n)a\|$ que es igual a la del lado izquierdo abajo y puede ser estimado como $$\|a(c-c_n) + (c_n-c)a\| \leq \|a\|\,\|c-c_n\|+ \|c-c_n\|\|a\| = 2\|a\|\,\|c-c_n\| \;\xrightarrow{n\to\infty}\; 0,$$ por lo tanto $\|ac-ca\| = 0$ e lo $c$ viajes con todos los $a \in A$.

He aquí cómo yo diría (sólo la escritura de su argumento de forma ligeramente diferente, y evitando el uso explícito de secuencias): Por un determinado $a \in A$ considera el mapa de $x \mapsto [a,x] = ax - xa$. Esto es claramente continua y lineal.

Ahora $\ker{[a,\cdot}]$ es un subespacio cerrado de $A$ y se compone de los elementos $x$ desplazamientos con $a$. El centro de $A$ es lo $Z(A) = \bigcap\limits_{a \in A} \ker{[a,\cdot]}$, por lo tanto se cierra como una intersección de conjuntos cerrados.