Serie de la función inversa

Question

$A(s) = \sum_{k>0}a_ks^k$ y $A(s)+A(s)^3=s$ . Quiero calcular $a_5$ . ¿Qué formas de hacerlo son las más eficientes?

Answer 1

Derivar $A+A^3=s$ en $s$ y evaluar en $0$ , dando con $A_0=0$ , $$A'+3A^2A'=1\implies A'_0=1$$ $$A''+6AA'^2+3A^2A''=0\implies A''_0=0$$ $$A'''+6A'^3+18AA'A''+3A^2A'''=0\implies A'''_0=-6$$ $$A''''+36A'^2A''+18AA''^2+24AA'A'''+3A^2A''''=0\implies A''''_0=0$$ $$A'''''+90A'A''^2+60A'^2A'''+60AA''A'''+30AA'A''''+3A^2A'''''=0\implies A'''''_0=360$$

Por lo tanto, por Taylor

$$A(s)=s-\frac6{3!}s^3+\frac{360}{5!}s^5\cdots$$