Serie de la función inversa

Question

$A(s) = \sum_{k>0}a_ks^k$ y $A(s)+A(s)^3=s$ . Quiero calcular $a_5$ . ¿Qué formas de hacerlo son las más eficientes?

Answer 1

Es bastante obvio que $s\mapsto A(s)$ es impar. Si realmente sólo necesita $a_5$ lo más sencillo es escribir $$A(s)=s+a_3s^3+a_5s^5+?s^7\ ,$$ donde el signo de interrogación representa una serie de potencia completa. Entonces $$A^3(s)=s^3(1+a_3s^2+?s^4)^3$$ y por lo tanto $$0=A(s)+A^3(s)-s=s+a_3s^3+a_5s^5+?s^7+s^3\bigl(1+3(a_3s^2+?s^4)+?s^4\bigr)-s\ .$$ Al comparar los coeficientes se obtiene $a_3=-1$ , $\>a_5=3$ .

Answer 2

$A(s) = \sum_{k>0}a_ks^k$ y $A(s)+A(s)^{3} =s$ Sabemos (producto de Cauchy): $$A(s)^{2} = \sum_{n>0}^{\infty} \left( \sum_{i=0}^{n}a_{i} a_{n-i} \right) s^n$$ Y $$A(s)^{3} = \sum_{n>0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{n}a_{n-j} \left( \sum_{i=0}^{j}a_{i} a_{j-i} \right) \right) s^n$$ Por lo tanto: $$ \sum_{n>0}^{\infty}a_ns^n+\sum_{n>0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{n}a_{n-j} \left( \sum_{i=0}^{j}a_{i} a_{j-i} \right) \right) s^n = s$$ Para $n=0$ : $$a_{0}+{a_0}^{3}=0$$ Para n=1: $$a_{1}+a_{1}.0+0=1$$ Al elevar el $n$ se obtiene el $a_{n}$

Answer 3

Otra posibilidad: el Fórmula de inversión de Lagrange

$A$ es la inversa de $B(t)=t+t^3$ Así que $$A(s)=\sum_{n=1}^\infty\lim_{t\to 0}\frac{s^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}\left(\frac{t}{t+t^3}\right)^n.$$

Answer 4

Podemos profundizar en el concepto de inversión de Lagrange. Supongamos que tenemos $$A(s) = \sum_{n\ge 0} a_n s^n$$ y $A(s)+A(s)^3=s$ y buscamos $a_n.$

Utilizando el teorema del residuo de Cauchy para preparar la inversión de Lagrange tenemos que $$a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{|s|=\epsilon} \frac{1}{s^{n+1}} A(s) \; ds.$$

Ahora pon $A(s)=w$ para que $w+w^3 = s$ y $$ds = 1 + 3w^2 \;dw.$$ Esto da como resultado $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{(w+w^3)^{n+1}} w \times (1+3w^2) \; dw \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{n}} \frac{1}{(1+w^2)^{n+1}} \times (3w^2+3-2) \; dw.$$

El primer componente es $$3 \times\frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{n}} \frac{1}{(1+w^2)^{n}} \; dw = 3\times[w^{n-1}] \frac{1}{(1+w^2)^{n}}.$$

Este valor es cero cuando $n$ es par y cuando $n$ es impar rinde $$3\times (-1)^{(n-1)/2}\times {(n-1)/2+n-1\choose n-1} = 3 (-1)^{(n-1)/2} {3/2n-3/2\choose n-1}.$$

El segundo componente es $$-2\times \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\epsilon} \frac{1}{w^{n}} \frac{1}{(1+w^2)^{n+1}} \; dw = -2\times [w^{n-1}] \frac{1}{(1+w^2)^{n+1}}.$$

Esto es de nuevo cero cuando $n$ es par y cuando $n$ es impar rinde $$-2\times (-1)^{(n-1)/2} {(n-1)/2+n\choose n} = -2 (-1)^{(n-1)/2} {3/2n-1/2\choose n}.$$

Combinando estos dos resultados se obtiene $$(-1)^{(n-1)/2} \left(3 {3/2n-3/2\choose n-1} -2 {3/2n-1/2\choose n}\right)$$ cuando $n$ es impar y cero en caso contrario.

Si se desea, esto puede simplificarse a $$(-1)^{(n-1)/2} \left(3-2 \frac{3/2n-1/2}{n}\right) {3/2n-3/2\choose n-1} = (-1)^{(n-1)/2} \frac{1}{n}{3/2n-3/2\choose n-1}.$$

Answer 5

Aquí utilizamos una variante algo más sencilla pero equivalente del Fórmula de inversión de Lagrange . (Véase el teorema A.2 en Combinatoria analítica de P. Flajolet y R. Sedgewick para la equivalencia de las variantes).

Fórmula de inversión de Lagrange:

Dejemos que $B(s), A(s)\in s\mathbb{C}[s]$ sean inversos: $B(A(s))=s$ . Si $B(s)=\frac{s}{\phi(s)}$ y $A(s)=s\phi\left(A(s)\right)$ entonces \begin{align*} [s^n]A(s)=\frac{1}{n}\left[s^{n-1}\right]\left(\phi(s)\right)^n\tag{1} \end{align*}

La relación funcional \begin{align*} (A(s)) + (A(s))^{3} = s \end{align*} puede escribirse como $B\left(A(s)\right)=s$ con \begin{align*} B(s)&=s+s^3\\ &=s(1+s^2) \end{align*}

Podemos escribir $$\phi(s)=\frac{s}{B(s)}=\frac{1}{1+s^2}$$

y obtener de (1)

\begin{align*} [s^5]A(s)&=\frac{1}{5}\left[s^{4}\right]\left(\phi(s)\right)^5\tag{2}\\ &=\frac{1}{5}\left[s^{4}\right]\frac{1}{(1+s^2)^{5}}\\ &=\frac{1}{5}\left[s^{4}\right]\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-5}{k}s^{2k}\tag{3}\\ &=\frac{1}{5}\binom{-5}{2}\\ &=\frac{1}{5}\cdot\frac{(-5)(-6)}{2!}\\ &=3 \end{align*}

Comentario:

• En (2) aplicamos la fórmula de inversión de Lagrange (1)

• En (3) utilizamos el _expansión de la serie binomial_