Demostrar que $\forall a,b,c,d\in \mathbb{R}\,$, $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq(ac-bd)^2$ y la igualdad si y sólo si $ad=bc$.

Question

Demostrar que $\forall a,b,c,d\in \mathbb{R}\,$, $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq(ac-bd)^2$ y la igualdad si y sólo si $ad=bc$.

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Necesito sugerencias en el trato con la desigualdad. Creo que lo que tengo con el trato con el caso de la igualdad es suficiente.

$\begin{align}(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq(ac-bd)^2&\Longleftrightarrow(ac)^2-(ad)^2-(bc)^2+(bd)^2\leq(ac)^2-2abcd+(bd)^2\\ &\Longleftrightarrow-(ad)^2-(bc)^2\leq-2abcd \\ \end{align}$

Supongamos $ad\neq bc$, $-(ad)^2-(bc)^2\leq-2abcd\Longrightarrow 2abcd\leq(ad)^2+(bc)^2,\,$ desde $0<(ad)^2$ $0<(bc)^2$ si $ad\neq bc$. Por lo tanto, la igualdad sólo se satisface si y sólo si $ad=bc$, ya que esto implica:

$$-(ad)^2-(bc)^2=-(ad)^2-(ad)^2=-2(ad)^2\leq-2abcd=-2ad\cdot ad=-2(ad)^2.$$

Sugerencias para mostrar la desigualdad? Gracias.

Answer 1

Simplemente muestran que $$(a^2-b^2)(c^2-d^2) = (ac-bd)^2-(ad-bc)^2$$ Así, desde la $-(ad-bc)^2 \le 0$ el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Usted está casi allí.

$$\ \begin{align}(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leq(ac-bd)^2&\Longleftrightarrow(ac)^2-(ad)^2-(bc)^2+(bd)^2\leq(ac)^2-2abcd+(bd)^2\\ &\Longleftrightarrow-(ad)^2-(bc)^2\leq-2abcd \\ &\Longleftrightarrow 0 \le (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2\\ &\Longleftrightarrow 0 \le (ad - bc)^2\\ \end{align}$$

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