Integral utilizando la función del suelo de GRE pregunta

Question

Tengo el siguiente GRE pregunta que no tengo idea de cómo resolver.

Si $\left \lfloor x \right \rfloor$ denota el mayor entero que no excede $x$, $\int_0^\infty \left \lfloor x \right \rfloor e^{-x} \, dx =$

La respuesta dice que debería ser $\frac{1}{e-1}$ y algunos de los consejos que dan es que $$\int_0^\infty \left \lfloor x \right \rfloor e^{-x} \, dx = \sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} ne^{-x} \, dx.$$ I don't really see how we go from the integral from $0$ to $\infty$ a la suma, podría alguien me explique esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \int_0^\infty \lfloor x \rfloor e^{-x}dx = \int_0^1 \lfloor x \rfloor e^{-x}dx + \int_1^2 \lfloor x \rfloor e^{-x}dx + \int_2^3 \lfloor x \rfloor e^{-x}dx + \cdots =\\ \sum_{n=0}^\infty \int_{n}^{n+1} \lfloor x \rfloor e^{-x}dx $$ y a partir de aquí debe quedar claro.

Answer 2

Probabilísticamente, este está preguntando acerca de la $\mathbf{E}[\lfloor X\rfloor]$ donde $X\sim \mathrm{Exp}(1)$.

Es bien sabido que si $X\sim \mathrm{Exp}(\lambda)$, $\lfloor X \rfloor$ es geométricamente distribuidos de que el valor es a partir de $0$. Deje $n\geq 0$ ser un determinado número entero no negativo. Entonces tenemos $$ P(\lfloor X \rfloor \geq n) = P(X\geq n) = e^{-\lambda n}. $$

Por lo tanto, se deduce que el $\lfloor X \rfloor$ es geométricamente distribuidos con el parámetro $p=1-e^{-\lambda}$, que comienza con el valor de $0$. Esto ha expectativa $\frac 1p -1$.

En el problema que tenemos $\lambda =1$. Por lo tanto, la respuesta es $$ \mathbf{E}[ \lfloor X \rfloor ] = \frac { e^{-1} }{1-e^{-1} } = \frac 1{e-1}. $$

Answer 3

Primera nota de que $\int_0^{\infty}\lfloor x\rfloor e^{-x}\;dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\lfloor x\rfloor e^{-x}\;dx$ por la aditividad de la integral.

Esta descomposición es útil debido a que $\lfloor x\rfloor$ es igual a $n$ en el intervalo de $[n,n+1)$. Así podemos reescribir la integral como $$ \sum_{n=0}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\lfloor x\rfloor e^{-x}\;dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{n}^{n+1}n e^{-x}\;dx$$ Finalmente, la suma puede ser cambiado para iniciar en $n=1$ si queremos, ya que el $n=0$ plazo es cero, de todos modos.