Extensión del lema de Schwarz

Question

Dejemos que $f: \Omega \rightarrow \Omega$ sea holomorfo donde $\Omega \subset \mathbb{C}$ es una región acotada que contiene 0. Si $f(0)=0$ y $f'(0)=1$ , lo hace $f(z)=z$ ?

Esto es cierto si $\Omega$ es un disco centrado en 0 pero ¿se mantiene si $D$ sólo está acotado?

Answer 1

Existe una generalización sustancial del lema de Schwarz válida para mapas arbitrarios $f:\ \Omega\to\Omega$ de una superficie de Riemann en sí misma. Dice que cualquier mapa de este tipo que no sea un automorfismo conforme de $\Omega$ en realidad disminuye la distancia hiperbólica entre los puntos. Esto implica que si $|f'(z)|=1$ en algún punto fijo $z$ entonces $f$ es un automorfismo conforme. Esto se puede demostrar levantando el mapa $f$ a un mapa $\tilde f:\ \tilde\Omega\to\tilde\Omega$ de la cubierta universal de $\Omega$ . Este último es ("en la mayoría de los casos") conformemente equivalente al disco unitario, donde se puede aplicar la versión invariante de Pick del lema de Schwarz. Véase aquí, p. 27:

Huber, Heinz: Mapeos analíticos de superficies riemannianas en sí mismas . Com. Matemáticas. Helv. 27 (1953), 1–73.

Answer 2

Encontrar un mapa conformado $h$ que mapea $\Omega$ al disco de la unidad $D$ , fijando $0$ . Entonces $g:= h\circ f\circ h^{-1}:D\to D$ es holomorfo, con $g(0)=0$ y $g'(0)=1$ .