Voy a tratar de responder a una sola de las preguntas:
¿en qué manera [teoría] tratar de establecer los fundamentos de las matemáticas?
Debe ayudar para ver ejemplos concretos de cómo los conceptos de otras áreas de las matemáticas puede ser formalizado en el conjunto de la teoría. Vamos a considerar dos ejemplos.
(1) Un grupo puede ser considerado como un par ordenado de objetos de $(G, f)$ donde $G$ es un conjunto y $f$ es una función de $G \times G \to G$ satisfacer ciertas propiedades lógicas. El producto Cartesiano $G \times G$ es el conjunto de pares ordenados de elementos de $G$. Una función de $G \times G \to G$ es un subconjunto del producto Cartesiano $(G \times G) \times G$ la satisfacción de ciertas propiedades. La noción de "par ordenado" se puede formalizar en términos de (desordenada) establece el uso de Kuratowski de la definición.
(2) Un número real puede ser definido como un conjunto de números racionales la satisfacción de una cierta lógica de la propiedad (la de ser un Dedekind corte.) Un número racional puede ser definido como un conjunto de pares ordenados de números enteros, es decir, una clase de equivalencia, bajo una cierta relación de equivalencia. Del mismo modo, los enteros pueden ser definidos como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. Números naturales puede ser definido como ciertos tipos de von Neumann ordinales, que son conjuntos.
En ambos casos (1) y (2) la reducción de los juegos no son muy elegantes, pero hacer el trabajo. Creo que es notable el hecho de que somos capaces de hacer tal cosa en absoluto. Usted podría tratar de reducir la teoría de conjuntos y teoría de grupos para el análisis en lugar de ello, o tal vez reducir el análisis y la teoría de conjuntos a la teoría de grupos, pero no creo que te iba a encontrar mucho éxito.
Por supuesto que no me dicen haber demostrado que algunas otras aproximación a los fundamentos de la matemática, tales como la categoría de teoría, no iba a funcionar igual de bien.
