¿Cuándo convergen las soluciones de un sistema de ecuaciones en diferencias a las soluciones de un sistema de EDP?

Question

Tengo un conjunto de ecuaciones en diferencias no lineales bastante desagradables, más o menos de la siguiente forma:

$$ \frac{a^{(j)}_{i+1}(s)-a^{(j)}_i(s)}{\epsilon}=f^{(j)}(\lbrace a^{(j)}_i(s)\rbrace_{j=1}^m,\lbrace a^{(j)}\prime_i(s)\rbrace_{j=1}^m,\epsilon) $$

Tengo una ecuación de este tipo para cada $j$ de 1 a $m$ . Aquí $a^{(j)}_i$ son funciones de $s$ para cada $i,j$ y los números primos denotan derivadas con respecto a $s$ . El subíndice $i$ es como una variable temporal discreta.

[En realidad tengo algunos problemas que puedo plantear de esta forma, así que tengo curiosidad por saber qué se puede decir a este nivel de generalidad].

Este conjunto de ecuaciones propagan los datos iniciales $\{a^{(j)}_0(s)\}_{j=1}^m$ siempre que el $f^{(j)}$ siguen estando bien definidas (por ejemplo, no hay que dividir por cero ni nada por el estilo), y puedo escribir algún conjunto de desigualdades sobre $\{a^{(j)}_i\}_{j=1}^m,\{a^{(j)}\prime_i\}_{j=1}^m,\epsilon$ para que esto sea cierto en cualquier paso dado.

En el límite $\epsilon\rightarrow0$ puedo expandir los lados derechos en una serie de Taylor en potencias de $\epsilon$ y puedo escribir formalmente:

$$ \frac{\partial a^{(j)}(x,s)}{\partial x}=f^{(j)}_0(\lbrace a^{(j)}(x,s)\rbrace_{j=1}^m,\lbrace\partial_sa^{(j)}(x,s)\rbrace_{j=1}^m)$$

Dónde $f^{(j)}_0$ son los primeros términos de la serie de Taylor para $f^{(j)}$ respectivamente, y $a^{(j)}(x,s)$ se supone que es como un límite continuo de $a^{(j)}_i(s)$ como el $i$ el espacio se hace pequeño. Los datos iniciales para esto son ahora un conjunto de funciones $\{a^{(j)}(0,s)\}_{j=1}^m$ .

No soy analista en absoluto, así que tal vez esto sea trivial o imposible, pero

1) Me gustaría saber si o bajo qué circunstancias las soluciones de las ecuaciones en diferencia convergen a soluciones de las ecuaciones diferenciales, y cómo demostrar esta convergencia.

2) Resulta que cuando tomo $\epsilon\rightarrow0$ las desigualdades que garantizan la solución de las ecuaciones diferenciales se satisfacen siempre - ¿implica esto que las ecuaciones diferenciales no generarán singularidades a medida que evoluciono en $x$ ¿también?

He buscado un poco en la bibliografía, pero sobre todo he encontrado artículos que van en la dirección contraria, es decir, que buscan buenas discretizaciones de las EDP, en lugar de demostrar que determinadas discretizaciones convergen. ¿Quizá me estoy perdiendo algo?

Siéntase libre de recomendar algunos libros o artículos o incluso "palabras mágicas" para google si todo esto es realmente básico.

Answer 1

La coherencia+estabilidad implica convergencia, véase Teorema de equivalencia de Lax-Richtmyer .

La estabilidad, intuitivamente hablando, es que el error de resolver la solución numérica en $t_{i+1}$ paso del tiempo $a_{i+1}$ a partir de los datos conocidos $a_i$ , $f(a_i)$ , no se acumula a través de todos $i$ de forma que se pueda obtener un control en el $n$ -es decir, su esquema numérico no es tan sensible a las perturbaciones. La estabilidad depende del esquema y también la propia ecuación . Matemáticamente hablando, es que si $a_{i+1} = L a_i$ debe tener la acotación del operador $L$ en alguna norma dentro de una región determinada para $(s,t)$ En tu caso, hay $m$ $a_{i+1}$ s pero la idea es la misma.

El documento más famoso sería El documento de Dahlquist sobre convergencia y estabilidad pero le sugiero que consulte algún libro introductorio sobre el método de las diferencias finitas, le recomiendo este libro de Randall LeVeque , el principio de equivalencia L-R también está en este libro.

Dado que ha mencionado la no linealidad en su ecuación, basándose en su primera ecuación, el lado derecho sólo implica los datos conocidos en el tiempo $t_i$ incluso si el problema original es altamente no lineal, lo que tienes se llama un explícito y la ecuación de diferencia es lineal (no en $s$ pero en la variable $t$ variable estás aproximando la derivada con diferencia finita). Observe que el esquema explícito es a veces inestable para ecuaciones no lineales debido a $f$ Sugiero utilizar Euler hacia atrás con Iteración de Newton para la ecuación no lineal.

Por coherencia, tu segunda ecuación es coherente de hecho si dejas que $\epsilon \to 0$ la definición formal es bajo alguna norma, derivada verdadera $\partial_t a(t,s)$ en $t_i$ restando la aproximación a la derivada(diferencia finita en $t_i$ : $\dfrac{a_{i+1} - a_i}{\epsilon}$ ) llega a cero cuando $\epsilon \to 0$ .