La prueba de la desigualdad

Question

Tengo problemas con probar la desigualdad :

$${a^{2}}+b^2+c^2+\frac{2}{5}abc<50$$

donde $a,b,c$ son las longitudes de los lados del triángulo, y el perímetro del triángulo es $10$.

Gracias.

Answer 1

Considere el polinomio $(x-a)(x-b)(x-c)$. Multiplicado, esta es

$$\begin{eqnarray} (x-a)(x-b)(x-c) &=& x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc \\ &=& x^3-10x^2+(ab+ac+bc)x-abc\;. \end{eqnarray}$$

También tenemos

$$10^2=(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc)\;,$$ $$ab+ac+bc=\frac{100-(a^2+b^2+c^2)}{2}\;,$$

y así

$$(x-a)(x-b)(x-c) = x^3-10x^2+\frac{100-(a^2+b^2+c^2)}{2}x-abc\;.$$

Ahora ya $a$, $b$ y $c$ forma un triángulo rectángulo con perímetro $10$, todos ellos deben estar a menos de $5$. Por lo tanto el valor del polinomio para $x=5$ es positivo, es decir,

$$5^3-10\cdot5^2+\frac{100-(a^2+b^2+c^2)}{2}\cdot5-abc>0\;,$$

que al reordenamiento se convierte en su desigualdad.