Descomponer esta matriz como una suma de matriz unitaria y nilpotente.

Question

Demuestre que la matriz $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$ puede descomponerse como una suma de una matriz unitaria y nilpotente.

Por lo tanto, evalúe la matriz $A^{2007}$ .

El otro día leí sobre las matrices nilpotentes. Decía "Una matriz cuadrada tal que es la matriz cero para alguna potencia de matriz entera positiva" es nilpotente.

Pero no sé cómo utilizar esto en este problema.

Answer 1

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = I + N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$

Obsérvese que la segunda matriz es nilpotente para $k = 2$ .

Ahora aplica el teorema del binomio:

$A^{2007} = (I + N) ^ {2007} = \sum_{i = 0}^{2007}(\binom{2007}{i} * I^{i} * N^{2007 - i})$ ( Se mantiene ya que las matrices conmutan )

y observe que todos los términos, excepto el siguiente 2, se convierten en 0 (porque $N$ es nilpotente):

$A ^{2007} = (I + N)^{2007} = \binom{2007}{2007} $ * $I^{2007}$ * $N^0$ + $\binom{2007}{1} * I^{2006} * N $

Lo que da

$ A ^ {2007} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4014 & 1 \end{bmatrix}$

Editar:

Como se señala en los comentarios de El profesor Marc las cosas se resuelven aquí ya que las matrices conmutan $(A * I = I * A \ \forall A$ donde $I$ es la matriz de identidad) . En caso contrario, el teorema del binomio no se cumple.

Answer 2

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}=E+A_1$

$A_1=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}$ es una matriz nilpotente porque $A_1^2=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Y qué decir de la segunda pregunta. Tenga en cuenta que $$A^2=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ $$A^3=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 6 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ $$\ldots$$ $$A^n=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2n & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Answer 3

Para calcular más fácilmente una potencia alta de una matriz cuadrada $~A$ un enfoque estándar es tratar de diagonalizarlo: si $A=PDP^{-1}$ para alguna matriz invertible $~P$ y una matriz diagonal $~D$ , entonces se puede escribir $A^n=PD^nP^{-1}$ y el poder $D^n$ se calcula simplemente tomando el $n$ -ésima potencia de cada entrada diagonal.

Su matriz dada $A$ no es diagonalizable, aunque se permitan coeficientes complejos (en $P$ y $D$ ). Un enfoque más general, que en principio siempre funciona si se permiten coeficientes complejos, es escribir $A$ y la suma de una matriz diagonalizable $S$ y una matriz nilpotente $N$ que se desplaza con él : $SN=NS$ . Dicha descomposición existe y es única, y puede encontrarse después de encontrar una forma normal de Jordan para $~A$ . En este caso eso no tiene importancia, ya que la descomposición es obvia: $S=I$ (que viaja con todo) y $N=\binom{0~0}{2~0}$ .

Dada esta descomposición, se puede aplicar el teorema del binomio para $A^n=(S+N)^n$ exactamente porque $S$ y $N$ conmutan entre sí (si no fuera así, el teorema del binomio no se aplicaría a $(S+N)^n$ ): $$ A^n=(S+N)^n = \sum_{k\geq0}\binom nkS^{n-k}N^k. $$ La suma sobre $k$ puede limitarse a los valores para los que $N^k\neq0$ , cuyo número es finito porque $N$ es nilpotente. En el ejemplo $N^2=0$ por lo que basta con tomar $k=0,1$ . También $N^0=I$ y para $S=I$ los poderes $S^n,S^{n-1}$ son ambos la identidad, y pueden eliminarse de la fórmula. Los coeficientes binomiales relevantes son $\binom n0=1$ y $\binom n1=n$ . Lo que queda es $A^n=I+nN$ .

Answer 4

Sabes lo que es una matriz unitaria. Entonces \begin{equation} A= \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0&1\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0& 0\\ 2&0\\ \end{bmatrix} \end{equation} Compruebe qué es \begin{equation} \begin{bmatrix} 0& 0\\ 2&0\\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 0& 0\\ 2&0\\ \end{bmatrix} \end{equation} y obtendrá la respuesta.