Cómo probar esta desigualdad $\frac{3}{2}\le\frac{1}{a+ab}+\frac{a}{1+ab}+\frac{ab}{1+a}\le\frac{19}{10}$

Question

que $a,b\in [\dfrac{1}{2},2]$, prueban que $$\dfrac{3}{2}\le\dfrac{1}{a+ab}+\dfrac{a}{1+ab}+\dfrac{ab}{1+a}\le\dfrac{19}{10}$ $

mi idea: $$\dfrac{1}{a+ab}+\dfrac{a}{1+ab}+\dfrac{ab}{1+a}-\dfrac{3}{2}\ge 0?$ $

y este problema de esto:http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=487281&p=2730329#p2730329

Gracias a todo el mundo.

He veo este mismo problema

Answer 1

Para el lado izquierdo es suficiente para permitir que $x = 1$, $y = a$, $z = ab$ y entonces es cierto por Nesbitt la desigualdad en las variables de $x,y,z$.

Por el derecho de la desigualdad, considere la posibilidad de $f(a,b) = \frac{1}{a + ab} + \frac{a}{1 + ab} + \frac{ab}{1 + a}$, ahora se nota que $$\frac{\partial^2 f}{\partial b^2}=\frac{2a^3}{(ab+1)^3}+\frac{2a^2}{(ab+a)^3}> 0$$ So $f$ is convex in $b$, that means $f(b)$ attains maxima at the endpoints of its domain, that means it suffices to prove the inequality for $b \in \left\{\frac{1}{2},2\right\}$. For $b = 2$ the inequality is equivalent to $$\frac{(a-2)\left(a-\frac{1}{4}\right)\left(a+\frac{5}{9}\right)}{a(a+1)\left(a+\frac{1}{2}\right)}\leq 0$$ which is true on given interval. For $b = \frac{1}{2}$ the inequality is equivalent to $$\frac{(a-4)\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{10}{9}\right)}{a(a+1)(a+2)}\leq 0$$ lo cual es cierto en el intervalo dado. Por lo tanto la desigualdad está probado.

EDIT: Tu idea para demostrar el lado izquierdo de la desigualdad de hecho puede ser utilizado, tenemos $$\frac{1}{a + ab} + \frac{a}{1 + ab} + \frac{ab}{1 + a} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{(1 - a)^2}{(a + ab)(1 + ab)} + \frac{(a - ab)^2}{(ab + 1)(a + 1)} + \frac{(ab - 1)^2}{(1 + a)(a + ab)}\right)$$ y esta última expresión es, de hecho, no negativo.

EDICIÓN #2: se ha Cambiado el tho palabra "extrema" sólo "maxima".

Answer 2

Para la desigualdad de la izquierda, agregar 1 a cada término. Nos WTS

$$ \frac{9}{2} \leq (1 + a + ab) \left( \frac{1}{a+ab} + \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+a} \right). $$

Esto es equivalente a la siguiente desigualdad de Cauchy Schwarz

$$9 \leq (x+y+z) \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)$$

$x = 1+a, y = a+ab, z = ab+1$.

La desigualdad de la derecha es más interesante.

Answer 3

También puede utilizar la función de Lagrange para la optimización problema $$\min_{(a,b) \in [\frac{1}{2},2]^2} f(a,b) := \frac{1}{a+ab} + \frac{a}{1+ab} + \frac{ab}{1+a}$ $ esto resultará en un interior mínimo en $(a,b) = (1,1), f_{min} = \frac{3}{2}$ y máximos límite en $(a,b) \in \{ (\frac{1}{2},\frac{1}{2}), (2,2) \}, f_{max} = \frac{19}{10}$ propuesto. La mayor molestia de esta solución es la matriz del Hessian de $f$, que es muy feo: $$ \left [\begin {array}{cc} 2\,{\frac { \left( 1+b \right) ^{2}}{ \left( a+ab \right) ^{3}}}-2\,{\frac {b}{ \left( 1+ab \right) ^{2}}}+ 2\,{\frac {{b}^{2}a}{ \left( 1+ab \right) ^{3}}}-2\,{\frac {b}{ \left( 1+a \right) ^{2}}}+2\,{\frac {ab}{ \left( 1+a \right) ^{3}}}&2 \,{\frac {a \left( 1+b \right) }{ \left( a+ab \right) ^{3}}}- \left( a +ab \right) ^{-2}-2\,{\frac {a}{ \left( 1+ab \right) ^{2}}}+2\,{\frac {{a}^{2}b}{ \left( 1+ab \right) ^{3}}}+ \left( 1+a \right) ^{-1}-{ \frac {a}{ \left( 1+a \right) ^{2}}}\\ 2\,{\frac {a \left( 1+b \right) }{ \left( a+ab \right) ^{3}}}- \left( a+ab \right) ^{-2}-2\,{\frac {a}{ \left( 1+ab \right) ^{2}}}+2\,{\frac {{a }^{2}b}{ \left( 1+ab \right) ^{3}}}+ \left( 1+a \right) ^{-1}-{\frac { a}{ \left( 1+a \right) ^{2}}}&2\,{\frac {{a}^{2}}{ \left( a+ab \right) ^{3}}}+2\,{\frac {{a}^{3}}{ \left( 1+ab \right) ^{3}}} \end{matriz} \right] $$