Estaba jugando con el siguiente objeto: Que $Q$ sea un conjunto con un operador binario $\cdot$ obedeciendo a los axiomas:
$a \cdot a = a$ (idempotencia)
$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot (a \cdot c)$ (autodistribución de la izquierda)
Ejemplos de ello serían la conjugación de grupos, los semilátices y los cuandles en la teoría de nudos. ¿Tiene este objeto algebraico general un nombre y ha sido estudiado?
Ha habido muchos trabajos sobre este tema después de que Patrick Dehornoy lo relacionara con extensiones y ordenaciones de grupos de trenzas. Su libro Trenes y autodistribución es una referencia canónica y muy bien escrita.
Dehornoy utiliza los términos LD- y Sistemas LDI . Las personas que habían estudiado la combinatoria de los mismos axiomas (con una segunda operación) que surgen en las "álgebras" de incrustaciones elementales en la teoría de conjuntos, las llamaron LD y Álgebras LDI .
Donde LD=distributivo izquierdo (propio) e I=idempotente.
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¿Quiere que se autodistribuya en ambos lados? ¿Podría estar asumiendo también la conmutatividad?
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Tampoco. Nótese que la conjugación de grupos sólo es autodistributiva a la izquierda. Además, si haces que este objeto sea conmutativo entonces se convierte en un semilatino.
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Genial, ¡gracias por el comentario aclaratorio y la edición!
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Sólo una observación: 1. y 2. implican $a(ba)=(ab)a$ . Esta es una forma débil de asociatividad. ¿Probablemente esta propiedad ya tiene un nombre?
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@MartinBrandenburg Buena observación. Reconozco esa condición: es la identidad flexible .
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@Malper ¿Puede comentar lo cerca que están sus condiciones propuestas de ser un estante idempotente ?
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@rschwieb Una estantería idempotente (también conocida como quandle) también tiene la propiedad de que la acción de cada elemento bajo la multiplicación por la izquierda es una biyección. Este objeto es más general. Por ejemplo, si tuviéramos $a\cdot b = a$ para todos $a, b \in Q$ ( $\left|Q\right| > 1$ ), cumpliría esta definición pero no sería un quandle.
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@Malper Interesante :) Teniendo en cuenta la cantidad de problemas computacionales que ya se han resuelto con el álgebra asociativa, es interesante reflexionar sobre lo que nos van a deparar los próximos mil años con el estudio de otros objetos. Eso si no somos vaporizados durante ese tiempo....
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@ Martin Brandenburg: Un anillo se llama alternativo si cada uno de sus 2 generados es asociativo. Así que aquí tenemos un caso especial de "magmas alternativos".
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También han aparecido en la literatura con el nombre de "huso", considerado como una generalización de los quandles.
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Otra observación @MartinBrandenburg: si asumimos que hay un elemento especial $1$ flotando por ahí con $a \cdot 1 = 1$ y $1 \cdot a = a$ entonces la identidad flexible implica la idempotencia, tomando $b$ para igualar $1$ .