Asignaciones de $S^n$ a $S^n$ con el grado de impar

Question

Dejemos que $f:S^n\rightarrow S^n$ ser de grado impar, es decir $f^*(1)$ es impar donde $f^*:H_n(S^n)\rightarrow H_n(S^n)$ es el mapa inducido en la homología. Demostrar que existe un $x\in S^n$ con $f(-x)=-f(x)$ .

Intenté imitar la demostración del teorema de Borsuk-Ulam, pero sin logros.

Incluso en el caso de $S^1$ No puedo ver cómo sucede esto, principalmente porque no sé cómo convertir la condición de la homología en algo más intuitivo los. ¿Debo utilizar una definición alternativa de los grados en este caso?

Answer 1

Si $f(x)$ y $f(-x)$ nunca son puntos opuestos, entonces podemos deformar $f$ a un nuevo mapa $g$ cuyo valor en ambos $x$ y $-x$ es el punto medio del único arco más corto que une $f(x)$ a $f(-x)$ . Pero el mapa $g$ por factores de construcción a través de $RP^n$ . Por tanto, su grado es necesariamente par (por ejemplo, contando las imágenes inversas de un punto genérico).