El problema del cumpleaños cuando el orden no es importante

Question

Supongamos que estamos interesados en la probabilidad de que en un conjunto de $n$ personas elegidas al azar de al menos dos personas comparten el mismo cumpleaños. Hacemos la suposición de que cada día del año (excepto el 29 de febrero) es igualmente probable para un cumpleaños. Tal problema se llama el problema del cumpleaños.

Parece que hay dos maneras de obtener esta probabilidad: $$ p(n)=1-\frac{365\cdot364\cdot\ldots\cdot(365-n+1)}{365^n} $$ y $$ q(n)=1-{365\elegir n}\biggl/{365+n-1\elegir n} $$ el uso de estrellas y barras. Cuando se calcula el $p(n)$, el pedido de la gente es importante. Sin embargo, cuando se calcula el $q(n)$, el orden no es importante, sólo podemos saber cuántas personas tienen un cumpleaños en un día en particular. Normalmente sólo la probabilidad de $p(n)$ es calculado.

La probabilidad de $p(n)$ es menor que la probabilidad $q(n)$ como vemos en el gráfico. ¿Tiene sentido calcular la probabilidad de $q(n)$? ¿Cómo puedo comprender intuitivamente por qué estas probabilidades son diferentes (podría parecer que la importancia de la orden no debe afectar a la respuesta final)? Cual es la forma correcta de calcular la probabilidad en el problema del cumpleaños?

Cualquier ayuda se agradece mucho!

Answer 1

Como dije en el comentario, en estrellas y bares cada medida de resultado no es igualmente probable.

La forma más sencilla de ver esto es evaluar $q(2)$. El enfoque de estrellas y barras da $1 - \frac{364}{366}$ que está definitivamente mal.

Para el caso más simple, supongamos que le da la vuelta dos monedas. Esto representa como dos estrellas y 1 bar, para describir cuántos suben de cabezas o colas.

$**|$

$*|*$

$|**$

El resultado medio es más probable que los otros.