Grupo de Galois $S_3$

Question

Si $f(x)$ sea un irreducible cúbico, entonces $Gal(f(x))\cong S_3$ $A_3$. Pero, ¿lo contrario? Si $Gal(K/F)\cong S_3$, ¿es cierto que $K$ es el campo División de algunos cúbica irreducible en $F[x]$?

Answer 1

Sí. Para ver esto, observe que si $K/F$ es una extensión de Galois, entonces por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois hay un intermedio de subcampo $L$$[L : F] = 3$, correspondiente al campo fijo de $\langle (1,2) \rangle$. By the Primitive element theorem, which in particular holds for any Galois extension, $L = F[\theta]$ for some $\theta \en L$. Let $p(x)$ denote the minimal polynomial of $\theta$. Then $grado(p(x)) = 3$.

Ahora vamos a $r \in K$ ser otra raíz de $p(x)$. Si $p \in L$, $L/F$ también sería una extensión de Galois--lo que contradice el hecho de que el grupo $\langle (1,2) \rangle $ is not a normal subgroup of $S_3$. Thus claim $r \noen L$, which gives that $K$ is the splitting field of $p(x)$.