¿Si $f$ sea convexo (cóncavo), implica la existencia de $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ la existencia de Asíntota?

Question

Una pregunta de seguimiento para el anterior .

Para calcular la asíntota oblicua como $x \to +\infty$, lo primero que se puede calcular $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$, si es que existe, y $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = k$, entonces podemos proceder a calcular $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - kx)=b$, y si existe, la asíntota sería $y = kx + b$.

Ahora la existencia de $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = k$ no, en general, implica la existencia de la segunda límite de $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - kx)=b$, como un contraejemplo $f(x)=x+\sin x$ mostrado por levap en la pregunta anterior.

Pero lo que si nos restringimos $f$ ser convexa (o cóncava)? Se la reclamación en este caso? El contraejemplo $f(x)=x+ \sin x$ ahora falla ya que no es ni convexo o cóncavo.

Answer 1

Como otros (usuario Michael, que por alguna razón no cree en sí mismo) notan, hay el contraejemplo cóncava con $k=0$ % $ $$f(x)=\begin{cases} \ln x&\text{if }x>1\\ x-1&\text{if }x\le1\end{cases}$

Y por lo tanto el contraejemplo convexo $-f(x)$ $k=0$. Y $-f(x)+\alpha x$ % arbitrario $k$.