Si $f$ es surjective, es inmediato a partir de la definición que $f^*$ es inyectiva. Por otro lado, si $f$ es inyectiva, $f^*$ no necesita ser surjective. Por ejemplo, considere el $R=\mathbb{Z}$ $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ dado por la multiplicación por $2$. A continuación,$\mathbb{Z}^*\cong \mathbb{Z}$, e $f^*$ es también la multiplicación por $2$, que no es surjective. En general, si $f$ es inyectiva, hay una larga secuencia exacta $$0\to (N/M)^*\to N^*\to M^*\to \operatorname{Ext}^1(N/M,R)\to \operatorname{Ext}^1(N,R)\to\dots$$
Por lo tanto $f^*$ es surjective iff la inducida por el mapa de $\operatorname{Ext}^1(N/M,R)\to \operatorname{Ext}^1(N,R)$ es inyectiva. En particular, esto es cierto si $\operatorname{Ext}^1(N/M,R)=0$. Otra condición suficiente para $f^*$ a ser surjective es si $M$ es un sumando directo de $N$ (en cuyo caso $N^*\cong M^*\oplus (N/M)^*$ $f^*$ es sólo la proyección).
Si $N$ es un bimodule y $N\cong N^*$, que todavía no tiene sentido hablar de componer $f$ $f^*$ menos que usted haya elegido un específico isomorfismo entre el$N$$N^*$, que generalmente es altamente no-canónica. En cualquier caso, incluso más de un campo, se puede elegir por ejemplo un isomorfismo tal que $f^*\circ f=0$ incluso para algunas distinto de cero mapas de $f$. Por ejemplo, supongamos $M=N=R^2$ con base $\{e_1,e_2\}$, vamos a $f$ ser dado por $f(e_1)=f(e_2)=e_1$, y elegir el isomorfismo $N\cong N^*$ que envía a $e_1$ $e^2$ $e_2$ % # % donde $e^1$ es la base dual de $\{e^1,e^2\}$.
