Construyendo un Homeomorfismo impar entre $A$y $S^n$.

Question

Que $A\subset\mathbb{R}^N\setminus\{0\}$ ser un conjunto simétrico cerrado ($x\in A$ y $-x\in A$). Supongamos que $A$ es homeomorfa a un % de ámbito $S^n$, $n\leq N$ ($n$ es la dimensión de la esfera). ¿Es posible construir un Homeomorfismo $F:A\to S^n$ tal que $F$ es impar?

Actualización: este problema fue resuelto aquí.

Answer 1

He aquí una idea, pero no veo la manera de terminar con ella. Usted tiene un homeomorphism $f\colon A\to S^n$, y esto induce a una involución $\alpha\colon S^n\to S^n$$f(x)\mapsto f(-x)$. Con una variante de la de Alejandro truco, uno puede mostrar que $\pi_0({\rm Homeo}(S^n))\cong \mathbb Z_2$, con las dos clases representadas por la orientación de la inversión y de la orientación de la preservación de homeomorphisms, respectivamente. Por lo tanto, $\alpha$ es isotópico a la antipodal mapa de $x\mapsto -x$ a condición de que se hace lo mismo que la orientación como la antipodal mapa. Observe que $\alpha$ es de punto fijo gratis. Así que el Lefschetz seguimiento debe ser cero. En este caso simple de las esferas, la Lefschetz la traza de una homeomorphism $f$$1+(-1)^n\deg f$. Por lo $\deg \alpha=(-1)^{n+1}$, que es el mismo que el grado de la antipodal mapa. Por lo tanto, $\alpha$ es isotópico a la antipodal mapa. Si $\alpha$ eran ambiente isotópica para la antipodal mapa nos gustaría hacer, ya que un ambiente isotopía $H\colon S^1\times I\to S^n$ sería una función donde$H(x,0)=x$$H(\alpha(x),1)=-x$. Por lo tanto, dejar $g(x)=H(x,1)$ el mapa de $gf\colon A\to S^n$ conmuta con el antipodal mapa, como se desee. Así que nos queda el problema de la promoción de una isotopía de ambiente isotopía, que no es siempre posible. De hecho, Alexander truco crea desagradable singularidades, lo cual podría significar que no se puede hacer en general. Si cambia a ${\rm Diff}(S^n)$ en lugar de ${\rm Homeo}(S^n)$, se puede suponer que isotopies son promotable ambiente isotopies, sino $\pi_0({\rm Diff}(S^n))$ sería más complicado. De hecho, para $n\geq 5$, $\pi_0({\rm Diff}^+(S^n))\cong\Theta_{n+1}$, el grupo de exóticos $(n+1)$-esferas. Así que si usted va a encontrar un contraejemplo, $n+1$ tendrá que ser de al menos $7$, cuando la primera exóticas esferas se producen.