Entender la configuración de la probabilidad de que $Ax^2+Bx+C$ tiene raíces reales si A, B y C son variables aleatorias uniformemente distribuidas en (0,1).

Question

Supongamos que $A, B,$ $C$ son variables aleatorias independientes, cada ser distribuidos de manera uniforme sobre $(0,1)$. ¿Cuál es la probabilidad de que $Ax^2 + Bx + C$ tiene raíces reales?

En primer lugar, me puse a $P(B^2 - 4AC \ge 0)$

Entonces me dijo que $$\begin{align} \int_0^1 \int_0^1 \int_{\min\{1, \sqrt{4ac}\}}^1 1 \;\text{d}b\,\text{d}c\,\text{d} &a= \int_0^1 \int_0^{\min\{1, 1/4a\}}\int_{\sqrt{4ac}}^1 1\;\text{d}b\,\text{d}c\,\text{d}a\\ &= \int_0^{1/4} \int_0^1 \int_{\sqrt{4ac}}^1 1\;\text{d}b\,\text{d}c\,\text{d}a + \int_{1/4}^1 \int_0^{1/4a}\int_{\sqrt{4ac}}^1 1\;\text{d}b\,\text{d}c\,\text{d}a \end{align}$$

por qué el medio de integrar de 0 a min{1, 1/4a} a partir de la segunda integral...¿de dónde 1/4a? ¿por qué el min{...} no ir a la parte frontal integral? por qué se rompen en el último paso como este (me refiero a uno integral + integral) ?

Muchas gracias

Answer 1

Para resolver $\min\{1,\sqrt{4ac}\}$, tenemos que averiguar cuál de los dos argumentos es menor. Si es $1$, la integral es $0$ y por lo tanto no contribuyen. Para ser $\sqrt{4ac}$, tenemos que tener $\sqrt{4ac}\le1$, y por lo tanto $c\le1/(4a)$. Esta es la respuesta a tu pregunta de donde $1/(4a)$ proviene.

No estoy seguro de cómo responder a su pregunta de por qué el $\min$ no va a la delantera integral. Mi contra-pregunta sería ¿cómo te gustaría proponer para moverlo a la parte frontal integral tal que el resultado es equivalente. A menos que usted puede venir para arriba con una propuesta de este tipo, me gustaría sugerir a concentrarse en por qué la forma escrita aquí es equivalente a la que en el paso anterior. Hablando en general, tiene sentido que la resolución de un mínimo en un límite de la recóndita integral afecta a los límites de la inmediatamente acompañando integral y no de una más remoto que encierra integral.

La ruptura en dos de las integrales es el resultado directo de la resolución de la mínima en el límite superior de la segunda integral. Ese mínimo es $1$ si $1\le1/(4a)$, es decir, si $a\le\frac14$, y es $1/(4a)$ lo contrario; por lo tanto tenemos que dividir el exterior integral sobre la $a$ en dos partes de acuerdo como $a\lessgtr\frac14$.