Es la gavilla de meromorphic de las funciones de un (conectado) compacto de superficie de Riemann constante? Me estoy refiriendo aquí a meromorphic funciones en el sentido de análisis complejo y no a las de la geometría algebraica, donde yo sé que esto a cabo. No me imagino que sea el caso, pero entonces ¿cómo se hace para demostrar la correspondencia entre los divisores y invertible poleas? El algebro-prueba geométrica sé (el uno en Hartshorne) depende de manera crucial de la gavilla de meromorphic funciones de ser constante ...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, la gavilla de meromorphic funciones en una superficie de Riemann es definitivamente no es constante.
Por ejemplo, si $X=\mathbb P^1(\mathbb C)=\mathbb C\cup \{ \infty \}$ el mapa de restricción $res:\mathcal M (\mathbb P^1)\to \mathcal M (\mathbb C)$ no es surjective.
De hecho, la función exponencial $exp(z)=e^z$ satisface $exp\in \mathcal M (\mathbb C)$, pero no está en la imagen de $res$ dado que la función exponencial tiene una esssential singularidad en$\infty$, y por tanto no meromorphic allí.
A un lado
En realidad meromorphic funciones en una compacta superficie de Riemann son racionales: $\mathcal M(X)=Rat (X)$.
Este es un caso especial de los llamados GAGA Principio y refuerza el argumento anterior, ya que sigue a continuación, que en realidad $\mathcal M( P^1(\mathbb C))=\mathbb C(z)$.
Sin embargo, yo no quería invocar el que más avanzado resultado en mi primaria la prueba en el nivel de una introducción a la teoría de la función de una variable compleja.
