Demostrar $a+b+c+d $ es compuesto

Question

Deje $a,b,c,d$ ser números naturales con $ab=cd$. Demostrar que $a+b+c+d$ es compuesto.
Yo tengo mi propia solución para esto (Ya publicado) y quiero ver si hay alguna otra buena pruebas.

Answer 1

$ab=cd$ implica $a=xy, b=zt, c=xz, d=yt$ para algunos enteros $x,y,z,t$. Por lo tanto $$ a+b+c+d=(x+t)(y+z). $$

Answer 2

De $ab=cd$ $$(a+b)^2-(a-b)^2=(c+d)^2-(c-d)^2\Rightarrow(a+b)^2-(c+d)^2=(a-b)^2-(c-d)^2$$ Hence we have $$(a+b+c+d)(a+b-c-d)=(a-b+c-d)(a-b-c+d)$$ Now note that $|a+b+c+d|>|a-b+c-d|$ and $|a-b-c+d|$. If $(a+b+c+d)$ was prime then it must divide one of $(a-b+c-d)$ or $(a-b-c+d)$, que no es posible.

Answer 3

De $ab=cd$, Podemos suponer que $a=\frac{cd}{b}$. Por lo $M=a+b+c+d = \frac{cd}{b}+b+c+d = \frac{(b+c)(b+d)}{b}$$bM=(b+c)(b+d)$$M|(b+c)(b+d)$. Suponemos que $M$ no es compuesto, entonces es primo. Ahora podemos saber que cualquiera de las $b+c$ o $b+d$ es divisible por $M$. Por lo $M\leq b+c$ o $M\leq b+d$ que tanto en el resultado de contradicción, porque $M=a+b+c+d > b+c$ o $b+d$. Así que nuestra suposición era incorrecta y $M$ es un número compuesto.

Answer 4

Sugerencia: Plug $a=\frac{cd}{b}$ en la suma para obtener

$$\frac{(b+c)(b+d)}{b}$$

que no puede ser primo.

Answer 5

Sugerencia:

$ab$ tiene que tener al menos $3$ factores primos.(Si $a,b,c,d$ son distintos de los naturales)

$ab=p_1p_2p_3\dots p_n=cd$

$a=p_1p_2 \dots p_j$

$b=p_{j+1} \dots p_n$

$c=p_kp_{k+1} \dots p_l$

$d=p_1p_2 \dots p_{k-1}p_{l+1}p_{l+2} \dots p_n$