Notación: ¿Cuál es el alcance de una suma?

Question

Yo interpretaría $\sum_{i=1}^2 x_i + y$ como $x_1 + x_2 + y$ , pero yo interpretaría $\sum_{i=1}^2 x_i + y_i$ como $x_1 + y_1 + x_2 + y_2$ . Me doy cuenta de que esto es un poco incoherente. ¿Debería escribirse esto último como $\sum_{i=1}^2 (x_i + y_i)$ ?

O, lo que es lo mismo, ¿tiene el operador de la suma precedencia sobre + y -?

Answer 1

Debería escribirse con paréntesis para evitar la ambigüedad, sí. Si piensas en el símbolo "suma" como una función, tiene sentido:

$$ \sum(\cdot) $$

Esta es una función que toma una lista $\{x_1,x_2,\ldots\}$ de números (u otros objetos matemáticos que se quieran sumar), y los suma en orden. Esta lista puede ser finita o infinita: la función "suma" calcula la longitud de la lista y ajusta su indexación en consecuencia (es decir, si hay 10 cosas en la lista, su índice irá de $1$ a $10$ ).

Si quieres añadir una secuencia que es a su vez la suma de dos secuencias, como tu ejemplo de $\{x_1+y_1,x_2+y_2\}$ tendrás que colocar toda la secuencia en la función:

$$ \sum(\{x_1+y_1,x_2+y_2\})=\sum_{i=1}^2(x_i+y_i) $$

Para las sumas finitas de números, se siempre tienen la propiedad de que

$$ \sum(\{x_1,x_2,\ldots\}+\{y_1,y_2,\ldots\})=\sum(\{x_1,x_2,\ldots\})+\sum(\{y_1,y_2,\ldots\}) $$ Sin embargo, lo siguiente tendría una interpretación diferente:

$$ \sum(\{x_1,x_2,\ldots\})+\{y_1,y_2,\ldots\} $$

De ahí el paréntesis.

Una nota complementaria interesante y más avanzada: ¡la "ruptura" de una suma no siempre funciona si las secuencias son infinitas!