$\sigma$-Álgebra generada

Question

Tengo una pregunta :

Deje $Z=\lbrace 0,1\rbrace ^{\mathbb{N}}$. ¿Por qué los conjuntos de $E_1,E_2,...$ donde $E_k=\lbrace (n_i)\in Z; n_k=1 \rbrace $ generar $\mathcal{B}(Z)$?

¿Cómo puedo demostrarlo?

Me parece que el uso de :

$\quad$*La proposición $\mathbf{8.1.5.}$*

$\quad$Vamos $X_1$, $X_2$, $\ldots$ ser finita o infinita secuencia de separables metrizable espacios. A continuación,$\mathscr{B}(\Pi_nX_n)=\Pi_n\mathscr{B}(X_n)$.

pero no entiendo ¿por qué ?

Gracias

Answer 1

• Podemos dar una caracterización completa de $\mathcal B(Z)$.
• Muestran que el $\sigma$-álgebra generada por la $E_k$ $$\left\{\prod_{n=0}^{+\infty}S_n, S_n\subset \{0,1\}\right\}.$$

Answer 2

Prueba. Deje $S$ ser de un mínimo de $\sigma$-álgebra de subconjuntos de a $Z=\{0,1\}^N$ generado por la familia $\{E_k: k \in N\}$, es decir, $S=\sigma(\{E_k: k \in N\})$. Tenemos que mostrar que $S={\cal{B}}(Z)$. Desde $\{E_k: k \in N \} \subseteq {\cal{B}}(Z)$ pretendemos que $$S=\sigma(\{E_k: k \in N\})\subseteq \sigma( {\cal{B}}(Z))={\cal{B}}(Z).$$ Tenemos para mostrar la validez de la inversa de la inclusión. Tenga en cuenta que $${\cal{B}}(Z)=\sigma (\{ Y \times \prod_{i>n}\{ 0,1 \}_i : Y \subseteq \{0,1\}^n~\& ~n \N \}).$$ Let us show that $$(\omega_1,\cdots,\omega_n)\times \prod_{i>n}\{ 0,1 \}_i \in S$$ for $n \N$ and $(\omega_1,\cdots,\omega_n)\in \{ 0,1 \}^n.$
Desde $E_k \in S$ $k \in N$ podemos deducir que $$Z \setminus E_k=\{(n_i)_{i \in N}:(n_i)_{i \in N} \in Z ~\&~n_k=0~\} \in {\cal{B}}(Z).$$ For $1 \le k \le n$ we set $A_k=E_k$ if $\omega_k=1$ and $A_k=Z \setminus E_k$ if $\omega_k=0$. Then $$(\omega_1,\cdots,\omega_n)\times \prod_{i>n}\{ 0,1 \}_i= \cap_{k=1}^n A_k \in S. $$
Ahora si $Y \subseteq \{0,1\}^n$$Y=\cup_{(\omega_1,\cdots,\omega_n)\in Y}\{(\omega_1,\cdots,\omega_n)\}$. Desde $S$ es cerrado bajo tomando finito sindicatos podemos deducir que $ Y \times \prod_{i>n}\{ 0,1 \}_i= \cup_{(\omega_1,\cdots,\omega_n) \in Y }(\omega_1,\cdots,\omega_n)\times \prod_{i>n}\{ 0,1 \}_i \in S$. Así $$\{ Y \times \prod_{i>n}\{ 0,1 \}_i : Y \subseteq \{0,1\}^n~\& ~n \in N \} \subseteq S$$ and we deduce that $${\cal{B}}(Z)=\sigma (\{ Y \times \prod_{i>n}\{ 0,1 \}_i : Y \subseteq \{0,1\}^n~\& ~n \in N \}) \subseteq \sigma(S)=S.$$

Esto termina la prueba.

Answer 3

Deje $\mathcal{S}$ $\sigma$- álgebra generada por la $E_k$'s.

Cada una de las $E_k$ es abierto, por lo $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}(Z)$.

Además, el $E_k$'s forma parte de una sub-base para el producto toplogy, por lo $\mathcal{B}(Z) \subseteq \mathcal{S}$.