PDE singularidad por el método de energía contradice la no-unicidad???

Question

Considere la posibilidad de $$u_t - \Delta u + u = 0$$ $$\frac{\partial u}{\partial \nu} = 0$$ $$u(T) = u(0)$$ en un dominio $\Omega$ (el BC es, obviamente, en $\partial\Omega$. Si $u$ resuelve este PDE, claramente no $\lambda u $ para cualquier constante$\lambda.$, por Lo que la singularidad no está allí.

Supongamos que tenemos dos soluciones $u$$v$. Su diferencia $d = u-v$ satisface $$d_t - \Delta d + d = 0$$ $$\frac{\partial d}{\partial \nu} = 0$$ $$d(T) = d(0)$$

Multiplicando la ecuación por $d$ e integrando por partes obtenemos $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int_{\Omega} d^2(t) + \int_{\Omega} |\nabla d(t)|^2 + \int_{\Omega} d^2(t) = 0$$ Ahora se integran por el tiempo $$\frac{1}{2}|d(T)|_{L^2} - \frac{1}{2}|d(0)|_{L^2} + \int_{0}^T |\nabla d(t)|_{L^2}^2 + \int_0^2 |d(t)|_{L^2}^2 = 0$$ pero los dos primeros términos se cancelan uno al otro, y llegamos $d=0$$H^1$. Así que esto demuestra que no hay una única solución.

¿Qué estoy haciendo mal???!?!

Edit: quizás $0$ es la única solución a este problema? Cómo probar esto si es así? Lo que sucede en la heterogéneas caso?

Answer 1

Existe $w_k$, $k\in\mathbb N$, un ortonormales base de $L^2(\Omega)$, que consta de los vectores propios de la Laplaciano, es decir, $$ -\Delta w_k=\lambda_kw_k \,\,\,\text{en $\Omega$},\\ \partial_\nu w_k=0 \,\,\,\text {$\partial\Omega$}, $$ con $\lambda\ge 0$$\lambda_k\to\infty$.

Si $u$ es una solución de la ecuación, con $u(x,0)=\sum_{k\in\mathbb N}c_kw_k(x)$, luego $$ u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty\mathrm{e}^{-(\lambda_k+1)t}w_k(x). $$ Claramente $$ \|u(\cdot,t)\|\le \mathrm{e}^{-t}\|u(\cdot,0)\|. $$ Así que si $\|u(\cdot,t)\|= \|u(\cdot,T)\|$,$u\equiv 0$.

Por lo tanto la solución es idéntica a cero.

Answer 2

Un enfoque ligeramente diferente: escrito $y(x,t)=e^tu(x,t)$, el sistema es equivalente a la siguiente homogénea de la ecuación del calor: $\displaystyle \frac{dy}{dt}-\Delta y=0$, $\displaystyle\frac{\partial y}{\partial\nu}=0,\, y(x,T)=e^Ty(x,0)$. Ahora multiplicando por $y$ e integrando por partes, obtenemos $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{\Omega}\frac{y^2}{2}=-\int_{\Omega}|\nabla y|^2$, por lo que el $\displaystyle\int_{\Omega}\frac{y^2}{2}$ es decreciente en el tiempo. Por lo tanto $\displaystyle \int_{\Omega}y^2(x,T)=e^{2T}\int_{\Omega}y^2(x,0)\ge e^{2T}\int_{\Omega}y^2(x,T),$ y esto implica $y(x,0)=y(x,T)=0$, y también desde $\displaystyle\int_{\Omega}\frac{y^2}{2}$ es decreciente en el tiempo, pero siempre positivo y es cero inicialmente, $y(x,t)=0$.