Sabemos que hay $\omega_1$-muchos de los ordinales límite inferior $\omega_1$. ¿Qué acerca de los números ordinales que son los límites de límite ordinales? Hay también $\omega_1$-muchas de estas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Zach Stone
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Sí! Para cada ordinal $\alpha$, hay un límite de límites menos de $\omega_1$, pero superior al $\alpha$. Así que por la regularidad, no puede ser sólo countably muchos.
Este argumento funciona para cualquier conjunto ilimitado, en realidad. Probar que los conjuntos no acotados se puede hacer manualmente o con la ayuda de un poco de teoría de papelería y conjuntos de club.
DanV
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281
Sí, sólo tenga en cuenta que por cada $\alpha$, $\alpha+\omega^2$ es un límite de límite de los números ordinales. Y mientras que la función de $\alpha\mapsto\alpha+\omega^2$ no es inyectiva, cada fibra es contable. Así tiene que ser una cantidad no numerable de valores de la función se lleva por debajo de $\omega_1$.
