Dividiendo un disco en $7$ piezas iguales con $3$ segmentos de línea

Question

¿Puedes dividir un disco en $7$ piezas de área igual, con $3$ segmentos de línea? (Seguramente puedes dividirlo en $7$ piezas, ¿pero podrían tener áreas iguales?)

(Esta pregunta quedó sin respuesta en otro foro. Puedo ver con algunos argumentos visuales que la respuesta debería ser no, pero no pude encontrar una forma clara de escribirlo.)

Answer 1

Enfoquémonos en dos de los acordes. Estos deben dividir el círculo en la proporción $4:3$ para que el arco menor subtendido por cada uno sea igual. Llamemos uno $AB$ y considéremoslo como "fijo" y el otro $CD$ que pensamos como móvil. Como no puedo dibujar diagramas, mira el diagrama izquierdo de Isaac. Dejemos que los dos acordes comiencen en la posición dada por los dos acordes de Isaac encontrándose en la circunferencia. Que $AB$ sea el de la izquierda y $CD$ sea el de la derecha con $B=C$.

Ahora rota $CD$ en sentido horario. Sea $P$ el punto de intersección. Entonces el ángulo $APD$ aumenta, el punto $P$ se mueve monótonamente de $B$ hacia $A$ en la línea $AB$, y $C$ se mueve monótonamente de $B$ hacia $A$ en el arco menor. Así, el área del "sector" (limitado por dos líneas y un arco del círculo) $PBC$ aumenta constantemente, ya que en un momento posterior contendrá al sector en un momento anterior. Existe un momento único en el cual el "sector" tiene un área de $1/7$ del círculo. Sea $\theta_0$ el ángulo $APD$ en este momento.

En la configuración buscada, los tres ángulos del triángulo central tienen un área de $\pi/3$ y por lo tanto existe si y solo si $\theta_0=\pi/3$. Así que decidir si la configuración existe se reduce a un cálculo único: cuál es el área del "sector" $PBC$ cuando el ángulo $APD$ es igual a $\pi/3; este es un cálculo que no voy a hacer :-)

Answer 2

Cada segmento de línea es una cuerda del círculo, con 3 de las 7 regiones en el segmento del círculo determinadas por la cuerda (el segmento es la región entre la cuerda y el arco menor entre sus puntos finales). El área de un segmento con medida de arco α radianes en un círculo con radio r es $\frac{r^2}{2}(\alpha-\sin\alpha)$—para simplificar, permita que $r=\sqrt{2}$ para que el área del segmento sea $\alpha-\sin\alpha$ y el área del círculo sea $2\pi$.

Si cada una de las 7 regiones tiene un área igual, entonces el área del segmento determinado por cada cuerda debe ser $\frac{3}{7}$ del área del círculo, por lo que para cada cuerda, $\alpha-\sin\alpha=\frac{6\pi}{7}\Rightarrow\alpha\approx2.91624$. Con 3 tales cuerdas, no hay forma de hacer que la región triangular central tenga un área de más de aproximadamente $\frac{1}{10}$ del círculo, por lo que no hay forma de obtener 7 regiones de igual área.

A continuación, a la izquierda está más o menos el mayor tamaño que puede tener la región triangular central; a la derecha hay una configuración más simétrica, que en realidad no hace que el triángulo central sea mucho más pequeño.

triángulo central más grande http://www.imgftw.net/img/225458569.png configuración algo simétrica http://www.imgftw.net/img/193455867.png

editar: Cuando dije "empíricamente" en un comentario más abajo, eso fue un poco impreciso: dado un ángulo de medida 2.91624 radianes, construí (con compás y regla) un círculo con una cuerda que cumplía los criterios dados. Luego construí algunas docenas de ubicaciones posibles para la segunda cuerda y para cada una de esas, algunas cientos de ubicaciones para la tercera cuerda, midiendo el área del triángulo central, cuando existía. Hay 4 configuraciones distintas donde existe, correspondientes a las 4 regiones en el gráfico de contorno en mi otra respuesta. La función del área es continua en estas regiones, por lo que una muestra grande y bien distribuida de valores a lo largo de cada una de las regiones brinda una representación precisa del comportamiento de la función. Cuando un triángulo tiene algunos aspectos libres y algunos aspectos restringidos, el área máxima suele estar en un valor extremo de los aspectos libres o en una configuración de máxima simetría. La multitud de construcciones indicó máximos locales para la configuración de arriba a la izquierda (la más estrecha pero la más alta) y para una configuración donde el lado del triángulo en la otra cuerda es casi toda la cuerda (la más corta pero la más ancha). La configuración mostrada arriba a la izquierda tuvo el área más grande (esto se verifica computacionalmente en mi otra respuesta). Sin embargo, ninguna de estas configuraciones extremas está cerca de las 7 regiones de igual área—en cada caso, al menos una región se reduce al caso degenerado de un punto. Arriba a la derecha está la configuración más simétrica, que intuitivamente es la más probable para generar 7 regiones de igual área. Esto corresponde al centro de la región de color más claro en la mitad del gráfico de contorno en mi otra respuesta y está en o cerca de un mínimo local de la función del área.

Answer 3

(Un intento más de una solución simple y completa.)

Cada cuerda debe dividir el círculo en la proporción 4:3, por lo que cada cuerda debe corresponder a un arco de medida aproximadamente 2.91624. Considera dos cuerdas así, una en una ubicación fija y la otra moviéndose a través de todas las configuraciones posibles en las que intersecta la primera cuerda. Para simplificar, permite que el área del círculo sea 7, de modo que la cuerda fija divida el círculo en regiones con área 3 y 4.

animación de la cuerda móvil http://www.imgftw.net/img/114911250.gif

(Ten en cuenta que si la cuerda continuara rotando en sentido antihorario, lo que actualmente es la "parte inferior" de la cuerda intersectaría la cuerda fija, pero cualquier configuración así es la imagen de reflexión sobre el bisector perpendicular de la cuerda fija de una configuración en la animación mostrada.)

A medida que la cuerda rota en sentido antihorario, el punto de intersección de las dos cuerdas y el extremo de la cuerda móvil en la mitad superior del círculo se mueven únicamente hacia la izquierda, por lo que el área de la región azul aumenta monótonamente y el área de la región roja disminuye monótonamente a medida que la cuerda rota en sentido antihorario. Las áreas de las regiones de color varían entre 0 y 3, y son funciones continuas de la rotación de la cuerda. Hay 2 posiciones de la cuerda rotativa para las cuales una de las dos regiones de color tiene un área de 1:

configuración 1:2:1:3 http://www.imgftw.net/img/284449919.png configuración 2:1:2:2 http://www.imgftw.net/img/843189976.png

En cada configuración, podemos determinar las áreas de las regiones por simetría (intercambiar la cuerda móvil y la cuerda fija). En el diagrama de la izquierda, las áreas son (en sentido antihorario, comenzando con la región azul) 1:2:1:3. En el diagrama de la derecha, las áreas son 2:1:2:2. Dado que la cuerda final debe dividir 3 de las 4 regiones existentes para tener 7 regiones, la configuración con áreas 1:2:1:3 (arriba a la izquierda) no funcionará, ya que dividir cualquier región con área 1 no nos dará 7 regiones con área 1.

Ahora, trabajando con la configuración con áreas 2:1:2:2 (arriba a la derecha), agrega una tercera cuerda, rotando a través de todas las posiciones posibles que dividen la región inferior derecha.

añadiendo la tercera cuerda http://www.imgftw.net/img/936642181.gif

Como antes, el área de la región morada es monótona y continua a medida que la cuerda gira y está entre 0 y 2, por lo que hay una configuración única donde el área de la región morada es 1.

la región morada tiene un área de 1 http://www.imgftw.net/img/948982901.png

Considerando la posición de la cuerda morada en relación con la cuerda fija original, la pequeña región en forma de cuña a la derecha no puede tener un área de 1, y esto se puede verificar computacionalmente. (También es el caso de que el área del triángulo en el centro no puede tener un área de 1 en esta configuración.) Por lo tanto, no es posible dividir el círculo en 7 regiones de igual área utilizando 3 cuerdas.

Answer 4

Cada segmento de línea es una cuerda del círculo, con 3 de las 7 regiones en el segmento del círculo determinado por la cuerda (el segmento es la región entre la cuerda y el arco menor entre sus extremos). El área de un segmento con medida de arco $\theta$ radianes de un círculo con radio r es $\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)$.

Si cada una de las 7 regiones tiene igual área, entonces el área del segmento determinado por cada cuerda debe ser $\frac{3}{7}$ del área del círculo, por lo que para cada cuerda, $\frac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\frac{3\pi r^2}{7}\Rightarrow\theta\approx 2.91624$. En adelante, usaré $\omega$ para referirme a este valor.

Ahora trabajemos con el círculo unitario centrado en el origen y coloquemos una cuerda de manera que su arco menor sea barrido por las imágenes de rotación de (1,0) alrededor del origen por ángulos en el intervalo $[0,\omega]$. Coloquemos las otras dos cuerdas de manera que sus arcos menores sean barridos por las imágenes de rotación de (1,0) alrededor del origen por ángulos en los intervalos $[\alpha,\alpha+\omega]$ y $[\beta,\beta+\omega]$ donde $0<\alpha<\beta<2\pi$.

En cualquier disposición de cuerdas que produzca 7 regiones, habrá una región triangular central. Las líneas que contienen las cuerdas tienen ecuaciones $y=\frac{\sin\omega}{\cos\omega-1}(x-1)$, $y-\sin\alpha=\frac{\sin\alpha-\sin(\alpha+\omega)}{\cos\alpha-\cos(\alpha+\omega)}(x-\cos\alpha)$, y $y-\sin\beta=\frac{\sin\beta-\sin(\beta+\omega)}{\cos\beta-\cos(\beta+\omega)}(x-\cos\beta)$. Los vértices de la región triangular central se encuentran en los puntos de intersección de esas tres cuerdas: $\left(\cos\frac{\omega}{2}\cos\frac{\alpha+\omega}{2}\sec\frac{\alpha}{2}, \cos\frac{\omega}{2}\sin\frac{\alpha+\omega}{2}\sec\frac{\alpha}{2}\right)$, $\left(\cos\frac{\omega}{2}\cos\frac{\beta+\omega}{2}\sec\frac{\beta}{2}, \cos\frac{\omega}{2}\sin\frac{\beta+\omega}{2}\sec\frac{\beta}{2}\right)$, y $\left(\cos\frac{\omega}{2}\cos\frac{\alpha+\beta+\omega}{2}\sec\frac{\alpha-\beta}{2},\frac{\csc(\alpha-\beta)}{2}(-\cos\alpha+\cos\beta-\cos(\alpha+\omega)+\cos(\alpha-\beta))\right)$. El área de este triángulo es $\frac{1}{2}\left|\left(\cos\left(\alpha-\frac{\beta}{2}\right)-\cos\frac{\beta}{2}\right)\cos^2\frac{\omega}{2}\sec\frac{\alpha}{2}\sec\frac{\alpha-\beta}{2}\tan\frac{\beta}{2}\right|$ (restringido solo a valores de $\alpha$ y $\beta$ para los cuales los tres puntos de intersección estén dentro del círculo).

Se muestra a continuación un gráfico de contorno del área (las áreas blancas no cumplen con las restricciones descritas anteriormente; los colores más oscuros representan valores más pequeños del área).

gráfico de contorno http://www.imgftw.net/img/455062883.png

El área máxima posible para el triángulo es aproximadamente 0.226346 cuando $\alpha\approx 2.91624$ y $\beta\approx 3.36694$ (aproximación numérica de Mathematica), que está muy por debajo de la séptima parte del área del círculo, $\frac{\pi}{7}\approx 0.448799$. Por lo tanto, no es posible dividir el círculo en 7 regiones de igual área usando 3 cuerdas.