Dejemos que $x_1,x_2,\ldots,x_n\in \left [ 0,1 \right ]$ , demuestre que $(1+x_{1}+x_2+\cdots+x_n)^2\geq 4(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Desde $x_i \in [0,1]$ tenemos: $1\geq x_i\geq x_i^2\geq 0$ Así que..:
$x_1+x_2+...+x_n \geq x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\geq 0 \longrightarrow (1+x_1+...+x_n)^2\geq (1+x_1^2+...+x_n^2)^2 \geq 4(x_1^2+...+x_n^2)$ por la conocida desigualdad: $(1+a)^2 - 4a = (1-a)^2 \geq 0$ es cierto para $a = x_1^2+...+x_n^2$ .
camickr
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137095
Supongamos que $1\ge x_1\ge x_2\ge \ldots \ge x_n\ge 0$ entonces \begin {align*}(1+x_1+x_2+ \ldots +x_n)^2&=1+ \sum_i x_i^2+2 \sum_i x_i+ \sum_ {i \ne j} x_ix_j \\ & \ge x_1^2+ \sum_i x_i^2+2 \sum_i x_i^2+ \sum_ {i \ne n}x_i x_{i+1} \\ & \ge3\sum_i x_i^2+x_1^2+ \sum_ {i \ne n} x_{i+1}^2=4 \sum_i x_i^2 \end {align*}
